sowie tan((−π2,π2)) =R

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 12

Abgabe bis Do, 22.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 1. DerTangens ist definiert durch

tan : R\ {π(n+¹₂) :n∈Z} →R, x7→ sinx cosx. Zeigen Sie:

(a) lim

x&−π/2tan(x) =−∞ und lim

x%π/2tan(x) = ∞ sowie tan((−^π₂,^π₂)) =R;

(b) tan⁰(x) = _cos¹_2x = 1 + tan²x, und der Tangens w¨achst auf (−^π₂,^π₂) streng monoton;

(c) der Tangens auf (−^π₂,^π₂) hat eine differenzierbare Umkehrfunktion arctan : R→ (−^π₂,^π₂), und arctan⁰(x) = _1+x¹ 2 f¨ur alle x∈R.

Aufgabe 2. (a) Eine Reihe komplexer Zahlen P∞

n=0z_n mit z_n = x_n + iy_n, x_n, y_n ∈R, konvergiert genau dann, wennP∞

n=0x_nundP∞

n=0y_nkonvergieren, und dann gegen P∞

n=0x_n+iP∞

n=0y_n. Zeigen Sie, dass f¨ur alle y∈R gilt:

∞

X

n=0

1

n!(iy)ⁿ= cosy+isiny.

(b) F¨ur zwei Reihen P∞

n=0a_n und P∞

n=0b_n komplexer Zahlen ist das Cauchy- Produkt definiert als die Reihe P∞

n=0c_n mit c_n = Pn

k=0a_kb_n−k. Man kann zeigen: fallsP∞

n=0|a_n|undP∞

n=0|b_n|konvergieren, so auch P

nc_nund es ist

∞

X

n=0

a_n

! _∞ X

n=0

b_n

!

=

∞

X

n=0

c_n,

siehe z.B. Forster, Analysis 1, S. 78. Zeigen Sie, dass f¨ur alle z, w∈C gilt:

∞

X

n=0

zⁿ n!

! _∞ X

n=0

wⁿ n!

!

=

∞

X

n=0

(z+w)ⁿ n! .

(c) Zeigen Sie mit Hilfe von (a) und (b), dass f¨ur allex, y ∈R gilt:

e^x(cosy+isiny) =

∞

X

n=0

(x+iy)ⁿ n! .

Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Funktion g:R→R, x7→

(x²sin_x¹2, x6= 0,

0, x= 0,

differenzierbar und ihre Ableitungg⁰ auf [−1,1] weder stetig noch beschr¨ankt ist.

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Aufgabe 4. (a) Zeigen Sie, dass die Dirichlet-Funktion χ: [0,1]→R, x7→

(1, x∈Q, 0, x6∈Q, nicht Riemann-integrierbar ist.

(b) Sei f: [a, b]→R monoton, n ∈ N und x_k =a+k^b−a_n f¨urk = 0, . . . , n. Wir definieren Treppenfunktionen g, h: [a, b]→Rdurch

g(a) = f(a) =h(a), g(x) =f(xk+1), h(x) =f(xk) f¨urx∈(xk, xk+1].

Zeigen Sie, dass

Z b

a

g(x) dx− Z b

a

h(x) dx

=|f(b)−f(a)|b−a n und dass f Riemann-integrierbar ist.

Zusatzaufgabe 5. (a) Bezeichne S¹ := {(x, y) ∈ R² : x²+y² = 1} den Ein- heitskreis. Zeigen Sie, dass die Abbildung f: [0,2π)→S¹, t7→(cost,sint), surjektiv ist.

(b) Zeigen Sie, dass die komplexe Exponentialfunktion z 7→ exp(z) ein surjek- tiver Homomorphismus der Gruppe (C,+) auf die Gruppe (C\ {0}, ·) ist und den Kern {2πin :n ∈ Z} hat. (Hinweis: f¨ur x, y ∈ R gilt |e^x+iy| =e^x, hierbei bezeichnet |z| der Absolutbetrag von z ∈C.)

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