(b) Berechnen Sie Fourier-Koeffizienten ˆfn der 2π-periodischen Funktion f:R → R mit f(x

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 10

Abgabe bis Do, 14.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Bezeichne D² ⊆R² (bzw. ˙D²) die (offene) Einheitskreisscheibe. Berech- nen Sie mit folgende Integrale:

(a) Z

D²

(x+iy)^k(x−iy)^ldµ(x, y), (b) Z

D˙²

dµ(x, y) p1−(x²+y²). Aufgabe 2. (a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der Funktionen

f(x) = e^−|x| und g(x) =χ_[−1,1].

(b) Berechnen Sie Fourier-Koeffizienten ˆfn der 2π-periodischen Funktion f:R → R mit f(x) = x f¨ur alle x ∈ [−π, π). Welche Reihe f¨ur π² ergibt sich aus der Parsevalschen Gleichung f¨urf?

Aufgabe 3. Seif ∈L¹(R). Zeigen Sie:

(a) Die Fourier-Transformierte ˆf ist stetig.

(b) Ista∈Rund bezeichnet t_a:R→R die Translationx7→x+a, so gilt (f\◦ta)(ξ) = ˆf(ξ)e^iaξ f¨ur alle ξ ∈R.

(c) F¨ur jedes >0 gibt es ein δ >0 so, dass f¨ur alle a∈(−δ, δ) und ξ∈R gilt:

|fˆ(ξ)(1−e^iξa)|< . (Hinweis: (a) und Aufgabe 4 von Blatt 9.)

(d) F¨ur alle ξ∈Rmit|ξ|> _2δ^π gilt|fˆ(ξ)|< .

(Bemerkung: Insbesondere gibt es f¨ur jedes >0 einR >0 mit|f(ξ)|ˆ < f¨ur alle ξ ∈Rmit|ξ|> R, d.h. ˆf verschwindet im Unendlichen, also ˆf ∈C0(R).)

Aufgabe 4. (a) Sei φ: R^d → [0,∞) eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Tr¨ager und R

R^dφ(x)dx= 1 und sei φ_n(x) :=n^dφ(nx) f¨ur alle n∈N. Zeigen Sie, dass f¨ur jede Funktion f ∈C(R^d) mit kompaktem Tr¨ager gilt:

n→∞lim kφ_n∗f−fk_∞= 0.

(b) F¨ur jedesp∈[1,∞) ist der RaumC_c^∞(R^d) der beliebig oft differenzierbaren Funk- tionen mit kompaktem Tr¨ager dicht inL^p(R^d).

(Hinweis: Approximationssatz, (a) sowie Aufgabe 3(b) von Blatt 8.) Zusatzaufgabe 5. F¨urd, n∈N seienf_n, φ_n∈C([−1,1]) definiert durch

f_n(t) = (1−t²)ⁿ und φ_n(t) := f_n(t) R1

−1f_n(s)ds. Sei fernerg∈C([0,1]^d). Zeigen Sie:

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(a) F¨ur jedesn∈Nist R1

−1fn(s)ds≥ _n+1² .

(b) F¨ur jedes > 0 und δ ∈ (0,1) gibt es ein n₀ mit R

[−δ,δ]φ_n(t)dt ≥ 1− f¨ur alle n≥n0. (Hinweis: limn→∞(n+ 1)(1−δ)ⁿ= 0.)

(c) F¨ur jedesn∈Nist die Funktion g_n(x) :=

Z

[0,1]^d

(φ_n(x₁−y₁)· · ·φ_n(x_d−y_d))g(y)dy f¨urx∈[0,1]^d ein Polynom in x₁, . . . , x_d; genauer existieren Zahlen a_k1,...,kd ∈R mit

g_n(x) =

2n

X

k1,...,kd=0

a_k1,...,kdx^k₁¹· · ·x^k_d^d f¨ur alle x∈[0,1]^d.

(d) F¨ur jedes α ∈ (0,1/2) konvergiert die Folge der Polynome (g_n)_n auf [α,1−α]^d gleichm¨aßig gegeng.

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