(a) Geben Sie zwei verschiedene stetige FunktionenA1, A2:R2→Mat1,2(R) an mit f(x+h, y+k) =f(x, y) +Ai(h, k)· h k f¨ur alleh, k ∈R, und folgern Sie, dass f in (x, y) differenzierbar ist

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 5

Abgabe bis Fr, 15.05., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Seif:R²→R definiert durch f(x, y) :=xy.

Sei nun (x, y)∈R² fest.

(a) Geben Sie zwei verschiedene stetige FunktionenA₁, A₂:R²→Mat_1,2(R) an mit f(x+h, y+k) =f(x, y) +A_i(h, k)·

h k

f¨ur alleh, k ∈R, und folgern Sie, dass f in (x, y) differenzierbar ist.

Die 1×2-MatrixDf(0,0) = A:=A₁(0,0) =A₂(0,0) h¨angt dann nicht von der Wahl derAi ab.

(b) Zeigen Sie direkt, dass

(h,k)→(0,0)lim

f(x+h, y+k)−f(x, y)−A ^h_k

^h_k

2

= 0.

(c) Seienu, v∈R. Berechnen Sie durch Einsetzen und Ableiten die Richtungsableitung (D_(u,v)f)(x, y) =g⁰(0), wobei g(t) :=f(x+tu, y+tv),

und pr¨ufen Sie, dass die von Ihnen gefundene MatrixA= (a, b) gegeben ist durch a= (D_(1,0)f)(x, y) und b= (D_(0,1)f)(x, y).

Aufgabe 2. (a) Die Funktion f:R² →R, definiert durch f(x, y) =

( _xy

x²+y², (x, y)6= 0, 0, (x, y) = 0,

ist im Nullpunkt nicht stetig, wie in Aufgabe 4 auf Blatt 2 gezeigt worden ist. Man zeige, dass dennoch die RichtungsableitungenDe1f(0,0) undDe2f(0,0) existieren.

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion g:R²→R, definiert durch

g(x, y) =





 x³

x²+y², (x, y)6= 0, 0, (x, y) = 0, im Punkt 0 alle Richtungsableitungen besitzt.

(c) Zeigen Sie, dass die RichtungsableitungDvg(0) vong im Punkt 0 nicht linear von der Richtung v abh¨angt und somit gim Punkt 0 nicht differenzierbar ist.

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Aufgabe 3. (a) Seieng, h:Rⁿ→Rdifferenzierbar. Berechnen Sie die Ableitung des Produktes

g·h:Rⁿ→R, x7→g(x)h(x),

indem Sie die Funktion f aus Aufgabe 1 und die Kettenregel verwenden.

(b) Es sei f :R² →R² die Funktion f(x, y) :=

e^xcos(y) e^xsin(y)

. (1)

Bemerkung: dies ist nichts anderes als die komplexe Exponentialfunktion, unter der ¨ublichen Identifikation C∼=R². Man berechne die Jacobi-Matrix von f. Aufgabe 4. (a) Berechnen Sie die Ableitungen der Funktion f_s: Rⁿ \ {0} → R,

f_s(x) =hx, xi^s = Pn i=1x²_is

, wobei s∈Rfest ist.

(b) Es seien f, g : R → Rⁿ zwei differenzierbare Funktionen. Man berechne die Ableitung der Funktion h:R→R,h(t) :=hf(t), g(t)i.

(c) Es seiA∈Mat_n,n(R) undf_A:Rⁿ→Rdurchf_A(x) :=hx, Axigegeben. Berechne DfA(x).

Zusatzaufgabe 5: F¨urz∈Rⁿ,z6= 0, seiρ_z die durch ρz(x) =x−2hx, zi

hz, ziz

definierte lineare AbbildungRⁿ→Rⁿ. Außerdem seif :Rⁿ\ {0} →Rⁿdie Abbildung f(x) = _hx,xi¹ x.

(a) Zeigen Sie, dass f¨urv ∈Rⁿ

Df(x)v= 1

kxk²ρ_x(v)

gilt. Daraus folgt im ¨ubrigen auch, dassf differenzierbar ist.

(b) Seiz∈Rⁿ\0 undx, y∈Rⁿ. Man zeige, dasshρ_zx, ρ_zyi=hx, yigilt (daraus folgt, dass ρz Abst¨ande erh¨alt).

(c) F¨ur z ∈ Rⁿ \0 sei < z >:= {az|a ∈ R > und < z >^⊥:= {x ∈ Rⁿ|hx, zi = 0}. Geometrisch interpretiert besteht < z >^⊥ aus allen Vektoren, welche auf z senkrecht stehen. Zeigen Sie, dass Rⁿ =< z > ⊕ < z >^⊥ gilt, und berechnen Sie ρz(x) f¨urx ∈< z > und x ∈< z >^⊥. Geometrische Interpretation: ρz ist die Spiegelung an der Hyperebene < z >^⊥.

(d) Veranschaulichen Sie sich die Funktion f (im Fall n = 2) und die geometrische Deutung von Df.

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