∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f x1(x)∆x 1 + · · · + f xn(x)∆x n . Sind |x k |, |y| 6= 0, so folgt f¨ ur den relativen Fehler

Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen

F¨ ur eine stetig differenzierbare Funktion (x 1 , . . . , x n ) ^t 7→ y = f (x) lassen sich die Auswirkungen von inakuraten Argumenten x + ∆x ≈ x mit Hilfe der partiellen Ableitungen von f beschreiben. F¨ ur den absoluten Fehler gilt bei Vernachl¨ assigung von Termen der Ordnung o (|∆x|)

∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f _x

(x)∆x ₁ + · · · + f _x

(x)∆x _n . Sind |x _k |, |y| 6= 0, so folgt f¨ ur den relativen Fehler

∆y

|y | ≈ c 1

∆x 1

|x ₁ | + · · · + c n

∆x n

|x _n |

mit den Konditionszahlen

c k = ∂y

∂x _k

|x _k |

|y| .

1 / 3

Beispiel

Berechnung des Winkels ϕ von Polarkoordinaten aus kartesischen Koordinaten:

ϕ = f (x, y ) = arctan(y/x)

Bilden der partiellen Ableitungen: _dt ^d arctan t = _1+t ¹

, Kettenregel = ⇒ f x (x, y) = 1

1 + (y/x) ²

− y x ²

= − y

x ² + y ² f y (x, y) = 1

1 + (y/x) ² 1

x = x

x ² + y ² (i) Absoluter Fehler:

∆ϕ ≈ f _x (x, y)∆x + f _y (x, y)∆y = − y ∆x

x ² + y ² + x∆y x ² + y ²

|x|, |y | ≤ r = p

x ² + y ² = ⇒ m¨ ogliche Vergr¨ oßerung des absoluten Fehlers max(|∆x|, |∆y |) maximal um einen Faktor 2/r

2 / 3

(ii) Relativer Fehler:

∆ϕ

|ϕ| ≈ − y|x|

(x ² + y ² )|ϕ|

∆x

|x| + x|y | (x ² + y ² )|ϕ|

∆y

|y|

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und | sin ϕ/ϕ| ≤ 1 = ⇒ Betrag der rechten Seite

≤

cos ϕ sin ϕ ϕ

|∆x|

|x| + |∆y |

|y|

≤ 2 max |∆x|

|x| , |∆y|

|y|

Verst¨ arkung des relativen Fehlers h¨ ochstens um einen Faktor 2

3 / 3