f in Umgebung U von x ∗ bijektiv, y = f(x) ⇔ x = g(y), und g 0 (y) = f 0 (x) − 1 , x ∈ U

6.7 Anwendungen

Umkehrfunktion

f : R ⁿ → R ⁿ , f ⁰ (x _∗ ) invertierbar = ⇒

f in Umgebung U von x _∗ bijektiv, y = f(x) ⇔ x = g(y), und g ⁰ (y) = f ⁰ (x) ^{− 1} , x ∈ U

Implizite Funktionen

f : R ⁿ × R ^m → R ⁿ , f(x _∗ , y _∗ ) = 0 mit det f x (x _∗ , y _∗ ) 6 = 0 = ⇒ Gleichungen

f k (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y m ) = 0, k = 1, . . . , n, lokal nach x aufl¨osbar: x = ϕ(y), y ≈ y _∗

Jacobi-Matrix

ϕ ⁰ = − (f x ) ^{− 1} f y

Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen absoluter Fehler

∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f x

(x)∆x 1 + · · · + f x

(x)∆x n

relativer Fehler

∆y

| y | ≈ c 1

∆x 1

| x 1 | + · · · + c n

∆x n

| x n | mit den Konditionszahlen

c _i = ∂y

∂x i

| x i |

| y | Steilster Abstieg

iterative Minimierung multivariater Funktionen x → y : f (y) = min

t≥0 f (x + td), d = − grad f (x) Konvergenz gegen kritische Punkte: grad f(x _∗ ) = 0

Multivariates Newton-Verfahren

nichtlineares Gleichungssystem

f 1 (x _∗ ) = · · · = f n (x _∗ ) = 0, x _∗ ∈ R ⁿ iterative Approximation der L¨osung x _∗

x neu = x alt − ∆x, f ⁰ (x alt )∆x = f (x alt ) det f ⁰ (x _∗ ) 6 = 0 = ⇒ lokal quadratische Konvergenz

| x neu − x _∗ | ≤ c | x alt − x _∗ | ²

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