f f ( ( x x , , y y ) ) dxdy dxdy " " " " f ( x ) dx ( f ( x , y ) dy ) dx " $ $ ! ! ! !

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

darstellungen by ahool erstellt by mhonegge 63

XVIII Mehrfache Integrale

1) Gebiets- Doppelintegrale

„Volumen von ‚krummflächig’ begrenzten Körpern berechnen.“

a) Geometrische Definition Geg: Fkt. f: R² -> R

f: (x,y) e R² -> f(x,y) e R

Bild !f) von f Bestimme das Volumen V des Körpers "unter" !(f) über D

Volumenteile unter D sind negativ zu zählen.

Bezeichnung: V =

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

b) Berechnung

Erinnerung: V=

!

f(x)dx

a b

"

"Die Figur wird wiederum nicht seeehr gross."

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

( f(x,y)dy)dx

"(x)

#(x)

$

a b

$

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

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Rezept

1) Schöpfe D durch "vertikale Strecken" aus.

2) Die x-Koordinaten der Punkte in D - dh. diese "vertikalen Strecken" - liegen zwischen a und b:

!

f(x,y)dxdy= (...)dx

a b

"

"

D

"

3) Bei festem x variiert y zwischen !(x) und "(x)

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

( f(x,y)dy)dx

"(x)

#(x)

$

a b

$

Andere Möglichkeit: "Horizontale Strecken":

Bsp:

f(x,y) = xy² 1.Art

2.Art

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

(x²/2y²

0 1

"

y y

)dy= (y³/2#y⁴/2)dy=(y⁴/8#y⁵/10

0 1

"

0 1

)=1/8#1/10=1/40

Wahl von f und D unabhängig f muss aber in D definiert sein.

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

( f(x,y)dx)dy

"(y)

#(y)

$

c d

$

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

( xy²

x² x

"

0 1

"

^dy)dx

=

!

(

0 1

"

^1/3xy2x²

x )dx =

!

(1/3x⁴

0 1

"

^#1/3x7)dx=

!

x⁵/5"x⁸/24=1/15"1/24=1/40 x = #(y)

x = $(y)

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

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2) Volumen-Dreifachintegrale Sei

!

B"R³,

!

f :R³"R, definiert (und f stetig) auf B.

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

(eine Bezeichnung! weiteres dazu im Rezept!)

=

!

( f(x,y,z)dydz)dx

D(x)

""

a b

"

⁼

!

( ( f(x,y,z)dz)dy)dx

"(x,y)

#(x,y)

$

%(x)

&(x)

$

a b

$

Rezept

1) Schöpfe B durch "Scheiben" senkrecht zur x-Achse aus. Die Scheiben liegen zwischen a und b:

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

⁼

!

( f(x,y,z)dydz)dx

D(x)

""

a b

"

2) Schöpfe jede "Scheibe" durch "vertikale Strecken" aus (wie 1.Schritt im Zweidimensionalen)

a) vei festem x variieren die y-Koordinaten der Punkte der Scheiben zwischen !(x) und "(x):

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

⁼

!

( f(x,y,z)dydz)dx

D(x)

""

a b

"

b) bei festem x und y variieren die z-Koordinaten der Punkte der Scheibe zwischen

$(x,y) und #(x,y)

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

⁼

!

( ( f(x,y,z)dz)dy)dx

"(x,y)

#(x,y)

$

%(x)

&(x)

$

a b

$

Bsp: Massenträgheitsmoment:

Integriere die Funktion

!

f (x, y,z)=y²+x² über das Tetraeder B mit Ecken (0,0,0); (1,0,0);

(0,1,0); (0,0,1)

Massenträgheitsmoment von B bezüglich der x-Achse; Dichte: 1

!

f(x,y,z)dxdydz

"""

B ⁼

!

(

0 1

"

^{( y2+z2)dz)dy)dx}

0 1#x#y

"

0

#x+1

"

Physikalische Bedeutung:

Trägheitsmoment!

Erkenntnis: 3 Dimensionen sind zwei und eine dazu!

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

⁼

!

( f(x,y,z)dydz)dx

D(x)

""

a b

"

Physikalische

Bedeutung: Kartoffel??!

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

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=

!

(

0 1

"

^(2y2+z3/30

1#x#y

)dy)dx

0

#x+1

"

⁼

!

(

0 1

"

^{y2(1#x#y)+(1#x#y)}

3 0 3

#x+1

"

^{)dy)dx =}

!

(

0 1

"

^y₃

3

# xy 3

3

#y 4

4

#(1#x#y)⁴

0 12

#x+1

"

0

#x+1

)dx = ... = -1/30 3) Variablentransformation

Gegeben: Integral

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

^bzw.

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

Transformation: h: x = x(u,v) bzw. x = x(u,v,w) y = y(u,v) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) Drücke die "alten" Variablen durch die neuen aus.

Berechne das Integral in den neuen Variablen.

1.Schritt: Bestimme das Gebiet bzw. in der u/v-Ebene bzw. dem u/v/w-Raum so, dass bzw. durch h auf D bzw. B abgebildet wird.

Bsp: h: x = u * cos v y = u * sin v

"Der Rest ist nun reine Rechnung nicht wahr?"

ist die D-Schlange

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

darstellungen by ahool erstellt by mhonegge 67 2.Schritt: Es gilt

!

f(x,y)dxdy

"

D

"

⁼

!

f(x(u,v),y(u,v))"detDh(u,v)dudv

D ˜

##

bzw.

!

f(x,y,z)dxdydz

B

"""

⁼

!

f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))"detDh(u,v,w)dudvdw

B ƒ

##

Beachte: Dh(u,v,w) =

!

x_u x_v y_u y_v

"

# $ %

&

' bzw. Dh(u,v,w) =

!

x_u x_v x_w y_u y_v y_w z_u z_v z_w

"

#

$

$ $

%

&

' ' ' Speziell: i) Kreiskoordinaten:

h: x = u cos v y = u sin v Dh(u,v) =

!

cosv "usinv sinv ucosv

#

$ % &

' ( det Dh(u,v) = u cos^2v + sin^2v det Dh(u,v) = u

ii) Kugelkoordinaten:

h: x = u cos v cos w y = u sin v cos w z = u sin w

det Dh(u,v,w) = u^2 cos w iii) Zylinderkoordinaten:

h: x = u cos v y = u sin v z = w det Dh(u,v,w) = u Bsp: Berechne die Fläche F des Bereiches D

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

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F =

!

1dxdy

"

D

"

= 1 F = F

Höhe mal Grundfläche

"neue" Variablen: u = u(x,y) = y/x v = v(x,y) = xy

Drücke die "alten" Variablen durch die "neuen" aus:

uv = y^2 => x(u,v) =

!

"1

4u^"1"1

4u^"1= " 1

2u =

!

u

1 2v

1 2

u/v = 1/x^2 => x(u,v) =

!

v u =

!

!

v

1 2

u

1 2

h: x = x(u,v) =

!

v

1 2u^"

1 2

y = y(u,v) =

!

v

1 2u

1 2

Dh(u,v) =

!

"1 2v

1

2u^"

2

3 1

2v^"

1

2 u^"

1 2

1

2u^"

1 2v

1

2 1

2v

1 2u

1 2

#

$

%

%

% %

&

' ( ( ( ( det Dh(u,v) =

!

"1

4u^"1"1

4u^"1= " 1

2u

!

detDh(u,v) = 1 2u

Analog:

!

1dxdydz

B

"""

⁼

Volumen von B!

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!

1dxdy

"

D

"

^{= 1}_2u^{1 dudv= (} _2u^{1 du)dv}

1 3

"

1 3

"

D ƒ

""

⁼

!

(1 2lnu

1 3

"

1 3

)dv= 1

2(ln 3#0)dv=1

2 ln 3dv

1 3

"

1 3

"

⁼

!

ln 3

2 v₁³ =ln 3

2 (3"1)=ln 3

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

darstellungen by ahool erstellt by mhonegge 70

XIX Flüsse durch Flächen im Raum

1) Erinnerung a) Vektorprodukt i)

!

a"b#a,a"b#b

ii)

!

a"b =F

iii) a,b,

!

a"b bilden ein Rechtssystem b) Gemischtes Produkt

!

"a#b,c$= ±V; V > 0 => Rechtssystem, V < 0 => Linkssystem c) Flächen im Raum

Parameterdarstellung einer Fläche S:

!

(u,v)"D#R²$ % $ a(u,v)=

x(u,v) y(u,v) z(u,v)

&

' ( ( (

)

* + + + "R³

!

R³ "R³Normalvektor im Punkt a(u0,v0) auf S: u =

!

(a_u"a_v)_{(u,v )}

2) Der Fluss a) Definition

Gegeben: Vektorfeld F(x,y,z)

!

"R³ Fläche S

!

"R³: (u,v)#D"R²

=>

!

a(u,v)=

x(u,v) y(u,v) z(u,v)

"

#

$

$ $

%

&

' ' ' (R³

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

darstellungen by ahool erstellt by mhonegge 71 Normalvektor u (u,v) =

!

(a_u"a_v)

Definition: Der Fluss ! des Vektorfeldes F durch die Fläche S in Richtung u: Deute F als stationäres dh. zeitunabhängiges Strömungsfeld. Dann ist ! das Flüssigkeitsvolumen, welches pro Zeiteinheit durch S hindurch fliesst in Richtung u.

b) Berechnung

Approximiere die Fläche S durch Parallelogramme, aufgespannt durch

!

a_u(u_j,v_k)"u und

!

a_v(u_j,v_k)"v

Approximiere auf einem solchen Parallelogramm das Vektorfeld F durch

!

F(a(u_j,v_k) Entsprechender Fluss !jk = +- Volumen des Parallelflachs, aufgespannt durch

!

a_u(u_j,v_k)"u und

!

a_v(u_j,v_k)"v,

!

F(a(u_j,v_k)

!jk = <

!

a_u(u_j,v_k)"u x

!

a_v(u_j,v_k)"v;

!

F(a(u_j,v_k)> (gemischtes Produkt) Approximiere:

!

" #

j

$

h

$

^"jk

Verfeinerung:

!

"u#0 und

!

"v#0

! =

!

D(s)

""

^<

!

a_u(u_j,v_k)"u x

!

a_v(u_j,v_k)"v;

!

F(a(u_j,v_k)> dudv Fluss von F durch S in Richtung n(u,v) = (au x av)(u,v) D(s) des Parameterbereichs der Fläche S

Bsp:

!

F(x,y,z)= 1 r³

x y z

"

#

$

$ $

%

&

'

' ' ,r= x²y²z²

S Oberfläche der Kugel mit Mittelpunkt 0, Radius R S:

!

(u,v)"D(s)#R²$a(u,v)=R

cosu%cosv sinu%cosv%cosv

sinv%cosv

&

' ( ( (

)

* +

+ + =Rcosv%a(u,v)

<

!

a_u(u_j,v_k)"u x

!

a_v(u_j,v_k)"v;

!

F(a(u_j,v_k)> = <R cosv a(u,v) ,

!

1

R³a(u,v)> =

!

1

R²cosv<a(u,v),a(u,v)= 1

R²(cosv)R² =cosv Damit: ! =

!

(cosv

D(s)

""

^{)dudv =}

!

(cosv)dv)du

"#/ 2

#/ 2

$

0

#/ 2

$

!

= (sinv

"# 2

# 2 0

2#

$

^{)du= 2}

0 2#

$

^du=4#

Mathematik II XVIII / XIX 31.07.2008

darstellungen by ahool erstellt by mhonegge 72

3)Divergenz; Rotation Definition

Gegeben: Vektorfeld i) Divergenz von F:

ii) Rotation von F:

Ein Vektorfeld

!

R³ "R³