Definition. Die holomorphe Abbildung F : X → Y heißt eine Immersion, falls n := dim(X) ≤ dim(Y ) und rg x (F ) = n f¨ ur alle x ∈ X ist. F heißt eine Submersion, falls n ≥ m := dim(Y ) und rg x (F ) = m f¨ ur alle x ∈ X ist.

Anhang

Der Anhang enth¨ alt einige Ergebnisse ¨ uber Immersionen, Submersionen und Quo- tienten-Mannigfaltigkeiten, f¨ ur die in der Vorlesung keine Zeit ¨ ubrig war.

X und Y seien komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension n bzw. m, F : X → Y sei eine holomorphe Abbildung. Ist F (x) = y, (U, ϕ) eine Karte f¨ ur X in x und (V, ψ) eine Karte f¨ ur Y in y, so ist der Rang von F in x definiert als der Rang der Jacobi-Matrix von ψ ◦ F ◦ ϕ ⁻¹ in z := ϕ(x). Man sieht leicht, dass diese Definition nicht von der Wahl der Karten abh¨ angt. Offensichtlich ist rg _x (F ) ≤ min(n, m). Ist der Rang maximal, so gibt es nur zwei M¨ oglichkeiten:

Definition. Die holomorphe Abbildung F : X → Y heißt eine Immersion, falls n := dim(X) ≤ dim(Y ) und rg _x (F ) = n f¨ ur alle x ∈ X ist. F heißt eine Submersion, falls n ≥ m := dim(Y ) und rg _x (F ) = m f¨ ur alle x ∈ X ist.

Bemerkung. Ist F : X → Y eine injektive Immersion, dann gibt es zu jedem x ∈ X Umgebungen U (x) ⊂ X und V (F (x)) ⊂ Y , so dass F (U ) eine Untermannig- faltigkeit von V ist. Ist X kompakt, so ist sogar F (X) eine Untermannigfaltigkeit von Y . Wir verzichten hier auf den Beweis. Der erste Teil beruht auf dem Satz ¨ uber implizite Funktionen, der zweite Fall auf rein topologischen Argumenten.

A.1 Satz. Sei x ₀ ∈ X und y ₀ := F (x ₀ ). Dann sind die folgenden Aussagen

¨ aquivalent:

1. F ist eine Submersion in x ₀ , d.h., es ist rg _x

0

(F ) = dim(Y ).

2. Es gibt Umgebungen U = U (x ₀ ) ⊂ X und V = V (y ₀ ) ⊂ Y mit F (U) ⊂ V , eine Mannigfaltigkeit Z und eine holomorphe Abbildung G : U → Z, so dass x 7→ (F (x), G(x)) eine biholomorphe Abbildung von U auf eine offene Teilmenge von V × Z definiert.

3. Es gibt eine offene Umgebung V = V (y ₀ ) ⊂ Y und eine holomorphe Abbildung s : V → X mit s(y ₀ ) = x ₀ und F ◦ s = id _V . (Man nennt s dann einen lokalen Schnitt f¨ ur F .)

Beweis: (1) = ⇒ (2) : Wir k¨ onnen uns auf die lokale Situation beschr¨ anken und annehmen, dass U = U(0) ⊂ C ⁿ und V = V (0) ⊂ C ^m offene Umgebungen sind und F : U → V eine holomorphe Abbildung mit F (0) = 0 und rg(J _F (0)) = m ist.

Wir schreiben J F (0) = J _F ⁰ (0), J _F ⁰⁰ (0)

, mit J _F ⁰ (0) ∈ M m,m ( C ) und J _F ⁰⁰ (0) ∈ M m,n−m ( C ). Nach Wahl geeigneter Koordinaten k¨ onnen wir annehmen, dass det J _F ⁰ (0) 6= 0 ist. Wir definieren eine neue holomorphe Abbildung F e : U → V × C ^n−m ⊂ C ⁿ durch

F e (z ⁰ , z ⁰⁰ ) := (F (z ⁰ , z ⁰⁰ ), z ⁰⁰ ), f¨ ur z ⁰ ∈ C ^m , z ⁰⁰ ∈ C ^n−m .

Dann ist

J F e (0) =

J _F ⁰ (0) J _F ⁰⁰ (0) 0 E n−m

, und daher det J

F e (0) 6= 0.

Nach dem Satz ¨ uber inverse Abbildungen gibt es Umgebungen U e (0) ⊂ U und W (0) ⊂ C ⁿ , so dass F e : U e → W biholomorph ist.

Z := C ^n−m ist eine komplexe Mannigfaltigkeit und G := pr ₂ : U e → Z mit (z ⁰ , z ⁰⁰ ) 7→

z ⁰⁰ ist eine holomorphe Abbildung, so dass (F, G) = F e biholomorph nahe 0 ist.

(2) = ⇒ (3) : Sind U , V , Z und G gegeben, so dass F (U ) ⊂ V und (F, G) : U → W ⊂ V × Z biholomorph ist, so kann s : V → X definiert werden durch

s(y) := (F, G) ⁻¹ (y, G(x ₀ )).

Dann ist (F, G)(s(y ₀ )) = (y ₀ , G(x ₀ )) = (F, G)(x ₀ ) und daher s(y ₀ ) = x ₀ . Außerdem ist (F, G) ◦ s(y) = (F, g) ◦ (F, G) ⁻¹ (y, G(x ₀ )) = (y, G(x ₀ )), also F ◦ s(y) = y.

(3) = ⇒ (1) : Ist s ein lokaler Schnitt f¨ ur F mit s(y ₀ ) = x ₀ , dann ist J _F · J _s nahe y ₀ die Einheitsmatrix. So folgt unmittelbar, dass J _F eine surjektive Abbildung repr¨ asentiert, dass also rg _x

0

(F ) = m ist.

A.2 Folgerung. Ist F : X → Y eine Submersion, so ist f¨ ur jedes y ∈ Y die Faser F ⁻¹ (y) leer oder eine (n − m)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von X.

Ist F zus¨ atzlich surjektiv und K ⊂ Y eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, so ist F ⁻¹ (K) ⊂ X eine (n − m + k)-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Beweis: Wir betrachten einen Punkt x ₀ ∈ X. Es sei M := F ⁻¹ (y ₀ ) die Faser ¨ uber y ₀ := F (x ₀ ). Dann k¨ onnen wir Umgebungen U = U (x ₀ ) ⊂ X, V = V (y ₀ ) ⊂ Y , eine (n − m)-dimensionale Mannigfaltigkeit Z, und eine holomorphe Abbildung G : U → Z finden, so dass (F, G) : U → W ⊂ V × Z biholomorph ist. Folglich ist M ∩ U = (F | _U , G) ⁻¹ ({y ₀ } × Z ) eine Mannigfaltigkeit der Dimension n − m.

Ist K ⊂ V eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, so ist F ⁻¹ (K) ∩ U = (F | _U , G) ⁻¹ (K × Z) eine Mannigfaltigkeit der Dimension n − m + k.

Sei G eine Gruppe mit der Struktur einer n-dimensionalen komplexen Mannigfal- tigkeit. Das Inverse von g ∈ G sei mit g ⁻¹ bezeichnet, das neutrale Element mit e und die Verkn¨ upfung zweier Elemente g 1 , g 2 ∈ G mit g 1 g 2 .

Definition. G heißt eine komplexe Liegruppe, falls die folgenen Bedingungen erf¨ ullt sind:

1. Die Abbildung g 7→ g ⁻¹ (von G nach G) ist holomorph.

2. Die Abbildung (g ₁ , g ₂ ) 7→ g ₁ g ₂ (von G × G nach G) ist holomorph.

Es gibt viele Beispiele von komplexen Liegruppen. Das einfachste ist der C ⁿ , mit der Vektoraddition als Verkn¨ upfung. Ein anderes Beispiel ist die Gruppe C ^∗ bez¨ uglich der gew¨ ohnlichen Multiplikation komplexer Zahlen.

Das wichtigste Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe GL n ( C ) := {A ∈ M n ( C ) : det A 6= 0}.

Ihre komplexe Struktur erh¨ alt sie als offene Teilmenge des C ⁿ

2

. Die Multiplikati- on von Matrizen ist bilinear, und die Determinanten, die bei der Berechnung des Inversen einer Matrix A auftreten, sind Polynome in den Koefficienten von A.

Jede Matrix A ∈ GL n ( C ) definiert eine lineare und deshalb holomorphe Abbildung Φ _A : C ⁿ → C ⁿ durch

Φ _A (z) := z · A ^t .

Dann ist Φ _AB (z) = z · (AB) ^t = z · (B ^t A ^t ) = (z · B ^t ) · A ^t = Φ _A (Φ _B (z)). Ist E _n die Einheitsmatrix, so ist Φ E

= id. Ist umgekehrt A eine Matrix mit Φ A = id, so muss A die Einheitsmatrix sein, denn Φ _A (e _i ) = e _i · A ^t ist das Transponierte der i-ten Spalte von A.

Wir wollen diese Situation verallgemeinern. Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und G eine komplexe Liegruppe.

Definition. Wir sagen, G operiert analytisch auf X (oder ist eine komplexe (Lie-) Transformationsgruppe auf X), falls es eine holomorphe Abbildung Φ : G×X → X gibt, mit

Φ(g ₁ g ₂ , x) = Φ(g ₁ , Φ(g ₂ , x)) f¨ ur g ₁ , g ₂ ∈ G, x ∈ X.

Die holomorphe Abbildung x 7→ Φ(g, x) wird mit Φ _g bezeichnet. Wir sagen, G operiert effektiv oder treu auf X, wenn aus Φ g = id X folgt, dass g = e ist.

Meist schreiben wir gx statt Φ(g, x) oder Φ g (x). Ein Punkt x ∈ X mit gx = x heißt ein Fixpunkt von g . Wir sagen, G operiert frei, wenn nur das neutrale Element e ∈ G Fixpunkte in X hat. Die allgemeine lineare Gruppe GL _n ( C ) operiert analytisch und treu auf C ⁿ , aber nicht frei.

Sei {w ₁ , . . . , w _2n } eine Basis des C ⁿ ¨ uber R . Dann ist das Gitter Γ := Z w 1 + · · · + Z w 2n

eine Untergruppe der (additiven) Gruppe C ⁿ , erzeugt von w ₁ , . . . , w _2n . Die Gruppe Γ operiert auf C ⁿ durch Translation: Φ(w, z) := z + w. Das ist ein Beispiel einer freien Gruppenoperation.

Wir wollen jetzt ein allgemeines Verfahren angeben, wie Gruppenoperationen zu

neuen Beispielen komplexer Mannigfaltigkeiten f¨ uhren.

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und ∼ eine ¨ Aquivalenzrela- tion auf X. Sind x, y ∈ X ¨ aquivalent, so schreiben wir x ∼ y oder R(x, y). F¨ ur x ∈ X sei

X(x) := {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : R(y, x)}

die ¨ Aquivalenzklasse von x in X. Diese Klassen ergeben eine Zerlegung von X in paarweise disjunkte Mengen. Die Menge X/R aller ¨ Aquivalenzklassen nennen wir den topologischen Quotienten von X modulo R.

Sei π : X → X/R die kanonische Projektion, gegeben durch π : x 7→ X(x). Dann wird X/R mit der feinsten Topologie versehen, so dass π stetig wird. Das bedeutet, dass eine Menge U ⊂ X/R genau dann offen ist, wenn π ⁻¹ (U ) ⊂ X offen ist. Wir nennen diese Topologie die Quotiententopologie.

Eine Menge A ⊂ X heißt saturiert bez¨ uglich der Relation R, falls gilt:

π ⁻¹ (π(A)) = A.

A.3 Satz.

1. A saturiert ⇐⇒ A = S

x∈A X(x).

2. Ist U ⊂ X/R offen, so ist π ⁻¹ (U) offen und saturiert.

3. Ist W ⊂ X offen und saturiert, so ist π(W ) ⊂ X/R offen.

Trivial!

A.4 Satz. Sei Z ein beliebiger topologischer Raum. Eine Abbildung f : X/R → Z ist genau dann stetig, wenn f ◦ π : X → Z stetig ist.

Die Aussage ist ebenfalls trivial, da ja (f ◦ π) ⁻¹ (U ) = π ⁻¹ (f ⁻¹ (U )) ist.

Wir wollen nun X/R so mit der Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit ver- sehen, dass π holomorph wird. Auf jeden Fall muss X/R dann ein Hausdorff- Raum sein. Was kann man noch herausfinden? Ist ϕ : U → C ^k ein komplexes Koordinatensystem f¨ ur X/R, so ist U b := π ⁻¹ (U ) eine offene saturierte Men- ge in X und f := ϕ ◦ π : U b → C ^k muss eine holomorphe Abbildung mit f ⁻¹ (f (x)) = π ⁻¹ (π(x)) = X(x) werden. Die Fasern von f m¨ ussen also ¨ Aquivalenz- klassen werden, und die ¨ Aquivalenzklassen m¨ ussen daher analytische Mengen sein.

Wenn π sogar zu einer Submersion wird, dann ist rg _x (f ) = k f¨ ur jedes x ∈ U b , und

die Fasern (und damit die ¨ Aquivalenzklassen) sind (n − k)-dimensionale Mannig-

faltigkeiten. Wir zeigen jetzt, dass diese Bedingungen tats¨ achlich auch hinreichend

f¨ ur die Existenz einer geeigneten komplexen Struktur auf X/R sind.

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und Z = {Z _ι : ι ∈ I} eine Zerlegung von X in d-dimensionale analytische Mengen. F¨ ur x ∈ X sei ι(x) ∈ I der eindeutig bestimmte Index mit x ∈ Z _ι(x) . Dann gibt es eine ¨ Aquivalenzrelation R auf X, so dass die ¨ Aquivalenzklasse X(x) genau die analytische Menge Z _ι(x) ist.

Wir betrachten den topologischen Quotienten X/R und die kanonische Projektion π : X → X/R und nehmen an, dass folgende Bedingungen erf¨ ullt sind:

1. X/R ist ein Hausdorff-Raum.

2. Zu jedem x ₀ ∈ X gibt es eine saturierte offene Umgebung U b von X(x ₀ ) in X und eine holomorphe Abbildung f : U b → C ^n−d , so dass gilt

(a) f ⁻¹ (f (x)) = X(x) f¨ ur alle x ∈ U b . (b) rg _x (f ) = n − d f¨ ur x ∈ U. b

A.5 Satz. Unter den obigen Bedingungen tr¨ agt X/R eine eindeutig bestimmte Struktur einer (n − d)-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit, so dass π : X → X/R eine holomorphe Submersion ist.

Beweis: Sei x ₀ ∈ X gegeben. Dann gibt es eine offene Umgebung U b von X(x ₀ ) in X mit π ⁻¹ π U b

= U b und eine Submersion f : U b → C ^n−d , deren Fasern Aquivalenzklassen ¨ X(x) sind. Ist z ₀ := f (x ₀ ), so gibt es eine offene Umgebung W = W (z ₀ ) ⊂ C ^n−d und einen holomorphen Schnitt s : W → U b (mit s(z ₀ ) = x ₀ und f ◦ s = id _W ). F¨ ur z ∈ W gilt f ⁻¹ (z) = X(s(z)) und daher

π ⁻¹ (π(s(W ))) = [

z∈W

X(s(z)) = [

z∈W

f ⁻¹ (z) = f ⁻¹ (W ).

Da dies eine offene Menge ist, ist auch π(s(W )) ⊂ X/R offen. Wir definieren ein komplexes Koordinatensystem ϕ : π(s(W )) → C ^n−d durch

ϕ(π(s(z))) := z.

Dann ist ϕ(π(x)) = f (x). Also ist ϕ wohldefiniert und stetig. ϕ ist auch bijektiv, mit ϕ ⁻¹ (z) = π(s(z)), und deshalb ein Hom¨ oomorphismus.

Sei nun ψ ein anderes Koordinatensystem, gegeben durch ψ(π(t(z))) := z, wobei t ein lokaler Schnitt zu einer geeigneten Submersion g ist. Dann folgt:

ϕ ◦ ψ ⁻¹ (z) = ϕ(π(t(z))) = f (t(z)).

Die Koordinatentransformationen sind holomorph.

Sei G eine komplexe Liegruppe, die analytisch auf einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit X operiert. Dann definiert

R(x, y) : ⇐⇒ ∃ g ∈ G mit y = gx

eine ¨ Aquivalenzrelation auf X. Die ¨ Aquivalenzklasse X(x) = {y ∈ X : ∃ g ∈ G mit y = gx} nennt man den Orbit von x unter der Gruppenoperation und schreibt daf¨ ur auch Gx. Den topologischen Quotienten X/R nennt man den Orbi- traum und bezeichnet ihn auch mit X/G.

Wir betrachten einen sehr speziellen Fall.

Definition. Die Gruppe G operiert eigentlich diskontinuierlich, falls es zu allen Punkten x, y ∈ X offene Umgebungen U = U (x) und V = V (y) gibt, so dass

{g ∈ G : gU ∩ V 6= ∅ } leer oder eine endliche Menge ist.

Hier sind die Orbits Gx diskrete Teilmengen von X und daher 0-dimensionale analytische Teilmengen. Ist die Operation frei, so k¨ onnen wir zeigen, dass alle Bedingungen erf¨ ullt sind, damit X/G eine komplexe Mannigfaltigkeit und π : X → X/G eine holomorphe Submersion wird (was in diesem Fall bedeutet, dass π eine unverzweigte ¨ Uberlagerung ist).

A.6 Lemma. G operiere frei und eigentlich diskontinuierlich auf X, und es seien zwei Punkte x ₀ , y ₀ ∈ X gegeben.

1. Wenn es ein g 0 ∈ G mit y 0 = g 0 x 0 gibt, so gibt es Umgebungen U = U (x 0 ) und V = V (y ₀ ), so dass gU ∩ V = ∅ f¨ ur g 6= g ₀ ist. Im Falle y ₀ = x ₀ und g ₀ = e kann man V = U w¨ ahlen.

2. Ist gx ₀ 6= y ₀ f¨ ur alle g ∈ G, so gibt es Umgebungen U = U (x ₀ ) und V = V (y 0 ), so dass gU ∩ V = ∅ f¨ ur alle g ∈ G ist.

Beweis: Zun¨ achst w¨ ahlen wir Umgebungen U ₀ (x ₀ ) und V ₀ (y ₀ ), so dass M := {g ∈ G : gU 0 ∩ V 0 6= ∅ }

endlich oder leer ist. Wir brauchen nichts zu beweisen, wenn M = {g 0 } (im ersten Fall) oder M = ∅ (im zweiten Fall) ist. Deshalb nehmen wir an, dass es Elemente g ₁ , . . . , g _N , N ≥ 1 mit M = {g ₀ , g ₁ , . . . , g _N } (im ersten Fall) und M = {g ₁ , . . . , g _N } (im zweiten Fall) gibt. Dann setzen wir y λ := g λ x 0 f¨ ur λ = 1, . . . , N . Da G frei operiert, ist y _λ 6= y ₀ f¨ ur λ = 1, . . . , N .

Wir w¨ ahlen Umgebungen W _λ = W _λ (y _λ ) und V = V (y ₀ ) ⊂ V ₀ , so dass W _λ ∩ V = ∅ ist, und wir w¨ ahlen eine Umgebung U = U(x 0 ) ⊂ U 0 , so dass g λ U ⊂ W λ f¨ ur λ = 1, . . . , N gilt. Dann ist gU ∩ V = ∅ f¨ ur g 6= g ₀ (im ersten Fall) und g ∈ G (im zweiten Fall).

A.7 Satz. G operiere frei und eigentlich dikontinuierlich auf X. Dann tr¨ agt

X/G eine eindeutig bestimmte Struktur einer n-dimensionalen komplexen Man-

nigfaltigkeit, so dass π : X → X/G eine unverzweigte holomorphe ¨ Uberlagerung

ist.

Beweis: Sei U ⊂ X eine offene Menge. Dann ist π ⁻¹ (π(U )) = S

g∈G gU eine offene Menge und daher auch π(U ) offen. F¨ ur jedes x ₀ ∈ X k¨ onnen wir eine offene Umgebung U = U (x ₀ ) w¨ ahlen, so dass gU ∩ U = ∅ f¨ ur g 6= e ist. Dann ist π : U → π(U) bijektiv.

(1) Wir m¨ ussen zeigen, dass X/G ein Hausdorff-Raum ist. Sind x ₁ , x ₂ ∈ X mit π(x ₁ ) 6= π(x ₂ ) gegeben, so ist gx ₁ 6= x ₂ f¨ ur alle g ∈ G. Es gibt offene Umgebungen U = U (x ₁ ) und V = V (x ₂ ) mit gU ∩ V = ∅ f¨ ur jedes g ∈ G. Dann sind π(U) und π(V ) disjunkte offene Umgebungen von π(x ₁ ) und π(x ₂ ).

(2) Wir verifizieren die anderen Bedingungen. Sei x ₀ ∈ X gegeben und U = U (x ₀ ) ⊂ X eine kleine offene Umgebung, so dass π : U → π(U ) ein Hom¨ oomor- phismus ist und es ein komplexes Koordinatensystem ϕ : U → C ⁿ gibt. Dann kann f : U b := π ⁻¹ (π(U )) → C ⁿ durch f (gx) := ϕ(x) definiert werden, f¨ ur x ∈ U und g ∈ G. Es ist klar, dass f wohldefiniert ist. Die Fasern von f sind die G-Orbits, und auf gU ist f (y) = ϕ(g ⁻¹ (y)). Damit folgt, dass f holomorph und rg _y (f ) = n ist, f¨ ur alle y ∈ U b .

Ist U klein genug, so ist π ⁻¹ (π(U )) = S

g∈G gU , mit paarweise disjunkten Mengen gU , die topologisch ¨ aquivalent zu π(U ) sind. Also ist π eine unverzweigte ¨ Uberla- gerung.

Beispiele:

A) Tori.

Sei {ω ₁ , . . . , ω _2n } eine RR-Basis von C ⁿ . Wir wissen schon, dass die diskrete Gruppe Γ := Z ω ₁ + · · · + Z ω _2n frei auf C ⁿ durch Translationen operiert. Die Menge

A _w := Γ + w = {ω + w : ω ∈ Γ}

ist der Orbit von w.

Die Gruppe Γ operiert eigentlich diskontinuierlich auf C ⁿ : Seien z ₀ , w ₀ ∈ C ⁿ gege- ben. Ist w ₀ = ω ₀ + z ₀ f¨ ur ein ω ₀ ∈ Γ, so w¨ ahlen wir

ε < 1

2 · inf {kωk : ω ∈ Γ \ {0} }.

Dann ist (ω + B ε (z 0 )) ∩ B ε (w 0 ) = ∅ , außer f¨ ur ω = ω 0 . Ist w ₀ − z ₀ 6∈ Γ und

ε < 1

2 · dist(w ₀ , Γ + z ₀ ), so ist (ω + B ε (z 0 )) ∩ B ε (w 0 ) = ∅ f¨ ur jedes ω.

Die n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit T ⁿ = T _Γ ⁿ := C ⁿ /Γ ist der schon bekannte komplexe Torus.

B) Hopf-Mannigfaltigkeiten.

Sei % > 1 eine feste reelle Zahl und n > 1. Dann operiert die (multiplikative) Gruppe Γ := {% ^k : k ∈ Z } frei auf C ⁿ \ {0} durch z 7→ % ^k · z.

Die Operation ist eigentlich diskontinuierlich. Um das zu sehen, definieren wir die Mengen

U r := {z ∈ C ⁿ : r < kzk < %r}, f¨ ur r > 0.

Dann sind die Mengen % ^k U _r paarweise disjunkt. Sind zwei Punkte z ₁ , z ₂ ∈ C ⁿ \ {0}

gegeben, so kann man ein r > 0 und ein k ∈ Z finden, so dass z ₁ ∈ U := U _r und z ₂ ∈ V := % ^k U _r ist. Der Fall k = 0 ist erlaubt. Nun ist % ^s U ∩ V = ∅ , außer im Falle s = k.

Also ist H = H _Γ := ( C ⁿ \ {0})/Γ eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, und die kanonische Projektion π : C ⁿ \ {0} → H ist eine unverzweigte holomorphe Uberlagerung. Nat¨ ¨ urlich ist H die ebenfalls schon bekannte Hopf-Mannigfaltigkeit.

C) Projektive R¨ aume.

In X := C ⁿ⁺¹ \ {0} betrachten wir die ¨ Aquivalenzrelation R(z, w) : ⇐⇒ ∃ λ ∈ C ^∗ mit w = λz.

Die ¨ Aquivalenzklasse von z ist die Menge L _z = C z \ {0}, also haben wir eine Zerlegung von X in 1-dimensionale analytische Mengen (die wir auch als Orbits der kanonischen Operation von C ^∗ auf X durch skalare Multiplikation auffassen k¨ onnen). Der topologische Quotient P ⁿ := X/R = ( C ⁿ⁺¹ \ {0})/ C ^∗ ist der n- dimensionale komplex-projektive Raum. Wie ¨ ublich sei π : X = C ⁿ⁺¹ \ {0} → P ⁿ die kanonische Projektion.

Es soll gezeigt werden, dass man die komplexe Struktur auf dem P ⁿ auch mit der oben vorgestellten Methode gewinnen kann:

Ist W ⊂ X eine offene Menge, so ist π ⁻¹ (π(W )) = S

λ∈ C

λ · W eine saturierte offene Menge in X und daher π(W ) offen in P ⁿ . Das trifft z.B. auf

U b _i := {z = (z ₀ , . . . , z _n ) ∈ C ⁿ⁺¹ \ {0} : z _i 6= 0} ⊂ X, i = 0, . . . , n, zu. Die Mengen U _i := π( U b _i ) bilden eine offene ¨ Uberdeckung von P ⁿ . Dass der P ⁿ ein Hausdorff-Raum ist, haben wir schon fr¨ uher gezeigt.

Sei nun ein Punkt z 0 = z

₀ , . . . , z

_n

∈ X gegeben. Dann gibt es einen Index i mit z _i

6= 0, und z ₀ liegt in U b _i . Wir definieren f _i : U b _i → C ⁿ durch

f _i (z ₀ , . . . , z _n ) := z ₀

z _i , . . . , z i−1

z _i , z _i+1

z _i , . . . , z _n z _i

.

Dann gilt:

f _i ⁻¹ (f _i (z)) = n

w ∈ U b _i : w _j w _i = z _j

z _i for j 6= i o

= n

w ∈ U b _i : w = w i

z _i · z o

= π ⁻¹ (π(z)).

Ist ein Punkt u = (u ₀ , . . . , u _n ) ∈ U b _i gegeben, so definieren wir einen holomor- phen Schnitt s : C ⁿ → U b _i durch s(z ₁ , . . . , z _n ) := (u _i z ₁ , . . . , u _i z _i , u _i , u _i z _i+1 , . . . , u _i z _n ).

Dann ist

s u ₀

u _i , . . . , u i−1

u _i , u _i+1

u _i , . . . , u _n u _i

= (u ₀ , . . . , u _n ), und

f _i ◦ s(z ₁ , . . . , z _n ) = (z ₁ , . . . , z _n ).

Also ist f i eine Submersion und rg _z (f i ) = n f¨ ur alle z.

Somit ist P ⁿ eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und π : C ⁿ⁺¹ \ {0} → P ⁿ eine holomorphe Submersion. Lokale Koordinaten sind durch die Abbildungen ϕ i : U i → C ⁿ mit ϕ i ◦ π = f i gegeben. Das bedeutet:

ϕ _i (z ₀ : . . . : z _n ) = z ₀

z _i , . . . , z b _i

z _i , . . . , z _n z _i

.

Das sind die lokalen Koordinaten, die wir schon kennen.

D) Grassmann-Mannigfaltigkeiten.

Die 1-dimensionalen komplexen Untervektorr¨ aume des C ⁿ⁺¹ k¨ onnen mit den Punk- ten des n-dimensionalen projektiven Raumes identifiziert werden, und wir haben dieser Menge eine komplexe Struktur gegeben. Jetzt wollen wir das gleiche bei der Menge G _k,n der k-dimensionalen Unterr¨ aume des C ⁿ machen. Die Idee ist die folgende: Ist V ₀ ⊂ C ⁿ ein festes Element von G _k,n , dann w¨ ahlen wir einen (n − k)- dimensionalen Unterraum W 0 ⊂ C ⁿ , so dass V 0 ⊕ W 0 = C ⁿ ist. Wir suchen nach einer Topologie auf G _k,n , so dass die Menge aller k-dimensionalen Unterr¨ aume V mit V ⊕ W ₀ = C ⁿ eine Umgebung von V ₀ in G _k,n bildet.

Aber wie kommen wir zu komplexen Koordinaten? Im Falle G 1,n+1 = P ⁿ betrachten wir z.B. V ₀ = C e ₀ (mit e ₀ = (1, 0, . . . , 0) ) und W ₀ = {(z ₀ , . . . , z _n ) : z ₀ = 0}. Dann ist V ₀ ⊕ W ₀ = C ⁿ⁺¹ . Ein Vektor z = (z ₀ , . . . , z _n ) 6= 0 erzeugt genau dann einen 1-dimensionalen Raum V mit V ⊕ W 0 = C ⁿ⁺¹ , wenn z 0 6= 0 ist. Multiplikation mit einem komplexen Skalar 6= 0 ver¨ andert den Raum V nicht. Deshalb ist V durch

z ₀ ⁻¹ · z = z ₀ ⁻¹ · (z ₀ , e z) = (1, z ⁻¹ ₀ · e z) mit e z = (z ₁ , . . . , z _n )

eindeutig bestimmt. Die Abbildung f : V 7→ z ₀ ⁻¹ · e z ∈ C ⁿ ergibt die wohlbekannten lokalen Koordinaten.

Um diese Prozedur auf h¨ ohere k ¨ ubertragen zu k¨ onnen, nehmen wir noch einen

etwas anderen Standpunkt ein: Jeder Raum V mit V ⊕ W ₀ = C ⁿ⁺¹ hat die Form

Graph(ϕ _V ), wobei ϕ _V : C → C ⁿ eine lineare Abbildung ist, gegeben durch ϕ _V (1) :=

f (V ).

Ist nun V ₀ ⊂ C ⁿ ein k-dimensionaler Unterraum und V ₀ ⊕ W ₀ = C ⁿ , so hat jeder andere k-dimensionale Unterraum V ⊂ C ⁿ mit V ⊕ W 0 = C ⁿ die Form Graph(ϕ V ), mit einer Abbildung ϕ _V ∈ Hom _C (V ₀ , W ₀ ). Halten wir Basen von V ₀ und W ₀ fest, so ergibt die Matrix von ϕ _V bez¨ uglich dieser Basen lokale Koordinaten in M k,n−k ( C ) ∼ = C ^k(n−k) .

Jetzt wollen wir die Ideen im Detail ausf¨ uhren. Ein geordnetes k-Tupel von linear unabh¨ angigen Vektoren a ₁ , . . . , a _k ∈ C ⁿ kann in einer Matrix angeordnet werden:

A = A(a ₁ , . . . , a _k ) :=





 a ₁

.. . a _k





 =







a ₁₁ · · · a _1n .. . .. . a _k1 · · · a _kn







mit rg(A) = k. Die Menge

St(k, n) := {A ∈ M _k,n ( C ) : rg(A) = k}

heißt die komplexe Stiefel-Mannigfaltigkeit vom Typ (k, n). Da ihr Komplement in M _k,n ( C ) ∼ = C ^kn eine analytische Menge ist, gegeben durch das Verschwinden aller (k × k)-Minoren von A, ist St(k, n) eine offene Menge in M _k,n ( C ) und daher eine komplexe Mannigfaltigkeit. Die Gruppe GL _k ( C ) operiert auf St(k, n) durch Multiplikation von links, und jeder Orbit dieser Gruppenoperation repr¨ asentiert genau einen k-dimensionalen Unterraum von C ⁿ . Den topologischen Quotienten

G _k,n = St(k, n)/ GL _k ( C )

nennt man die komplexe Grassmann-Mannigfaltigkeit vom Typ (k, n).

Ist z.B. W ₀ = {w = (w ₁ , . . . , w _n ) : w ₁ = · · · = w _k = 0}, so repr¨ asentiert eine Matrix A ∈ St(k, n) genau dann eine Basis eines k-dimensionalen Raumes V mit V ⊕ W ₀ = C ⁿ , wenn A = (A ₀ | A) ist, mit e A ₀ ∈ GL _k ( C ) und A e ∈ M _k,n−k ( C ). In diesem Fall hat V die Form Graph(ϕ _V ) f¨ ur eine lineare Abbildung ϕ _V : C ^k → C ^n−k . Nat¨ urlich ist V durch die Matrix A ⁻¹ ₀ · A = (E k |A ⁻¹ ₀ · A) eindeutig bestimmt, und e A ⁻¹ ₀ · A e ist die Matrix von ϕ _V bez¨ uglich der Standardbasen.

Jetzt betrachten wir die Menge von Multi-Indizes

I _k,n := {I = (i ₁ , . . . , i _k ) ∈ N ^k : 1 ≤ i ₁ < · · · < i _k ≤ n}.

Zu jedem A ∈ St(k, n) gibt es ein I = (i ₁ , . . . , i _k ) ∈ I _k,n , so dass gilt:

A _I :=







a _1i

· · · a _1i

.. . .. . a _ki

· · · a _ki





 ∈ GL _k ( C ).

Dann gibt es eine Permutationsmatrix P _I ∈ GL _n ( C ), so dass A · P _I = (A _I | A e _I ) ist.

F¨ ur festes I setzen wir

V _I := {A ∈ St(k, n) : det A _I 6= 0}.

Wir bemerken, dass (G · A) _I = G · A _I und (G ^ · A) _I = G · A e _I f¨ ur G ∈ GL _k ( C ) ist.

Daher ist V _I invariant unter der Operation von GL _k ( C ).

A.8 Hilfssatz. Sei π _k,n : St(k, n) → G _k,n die kanonische Projektion. Dann ist π ⁻¹ _k,n (π _k,n (V _I )) = V _I f¨ ur jedes I ∈ I _k,n .

Beweis: Sei A ∈ π _k,n ⁻¹ (π _k,n (V _I )) gegeben. Dann gibt es ein A ^∗ ∈ V _I mit π _k,n (A) = π _k,n (A ^∗ ). Das bedeutet, dass es eine Matrix G ∈ GL _k ( C ) mit A = G · A ^∗ gibt. Da V _I invariant unter der Operation von GL _k ( C ) ist, liegt A in V _I . Die umgekehrte Inklusion ist trivial.

Also ist V _I eine saturierte offene Teilmenge von St(k, n), und U _I := π _k,n (V _I ) ist offen in G _k,n . Es sei dem Leser ¨ uberlassen, zu zeigen, dass G _k,n ein Hausdorff-Raum ist.

Ist E I ⊂ C ⁿ erzeugt von e i

, . . . , e i

und F I ⊂ C ⁿ von den ¨ ubrigen e j , so ist E _I ⊕ F _I = C ⁿ , und jeder k-dimensionale Unterraum V ⊂ C ⁿ mit V ⊕ F _I = C ⁿ wird durch eine Matrix A ∈ V _I repr¨ asentiert. Die eindeutig bestimmte Matrix A ⁻¹ _I · A e I ∈ M k,n−k ( C ) beschreibt die lineare Abbildung ϕ V : E I → F I . Daher definieren wir die holomorphe Abbildung f _I : V _I → M k,n−k ( C ) ∼ = C ^k(n−k) durch

f _I (A) := A ⁻¹ _I · A e _I . Es ist klar, dass f _I holomorph ist, und wegen

f _I (G · A) = (G · A _I ) ⁻¹ · (G · A e _I ) = f _I (A),

respektiert f _I die Fasern von π _k,n . Es bleibt zu zeigen, dass f _I maximalen Rang hat.

Dazu konstruieren wir Schnitte:

Sei A ∈ V _I gegeben. Dann definieren wir s : M _k,n−k ( C ) → V _I durch s(B) := A _I · (E _k |B) · P ⁻¹ _I .

Das ist eine holomorphe Abbildung mit s(f _I (A)) = (A _I | A e _I ) · P ⁻¹ _I = A und f _I ◦ s(B) = f _I (A _I · (E _k |B) · P ⁻¹ _I ) = A ⁻¹ _I · (A _I · B) = B.

Also ist f _I eine Submersion und G _k,n eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension k(n − k). Komplexe Koordinaten sind gegeben durch ϕ _I : U _I → M k,n−k ( C ) mit

ϕ _I (π _k,n (A)) := A ⁻¹ _I · A e _I .

Sei S _k,n := {A ∈ St(k, n) : A · A ^t = E _k } die Menge der Orthonormalsysteme von k Vektoren in C ⁿ . Dann ist S k,n eine kompakte Menge, und π k,n : S k,n → G k,n ist surjektiv. Also ist G _k,n kompakt.

Jetzt zeigen wir, dass die Grassmann-Mannigfaltigkeiten projektiv-algebraisch sind.

Sei 0 ≤ k ≤ n gegeben und N := ⁿ _k

− 1. Wir identifizieren V k

C ⁿ mit C ^N+1 und definieren die Pl¨ ucker-Einbettung pl : G _k,n → P ^N wie folgt: Hat ein Unterraum V ⊂ C ⁿ die Basis {a ₁ , . . . , a _k }, so sei

pl(V ) := π(a ₁ ∧ · · · ∧ a _k ).

Es ist klar, dass das eine wohldefinierte injektive Abbildung ist. Um zu sehen, dass es sich um eine holomorphe Immersion handelt, w¨ ahlen wir eine andere Beschrei- bung. Wie oben benutzen wir die Menge der Multi-Indizes

I _k,n = {I = (i ₁ , . . . , i _k ) : 1 ≤ i ₁ < · · · < i _k ≤ n}.

Jedem I ∈ I _k,n entspricht eine Permutationsmatrix P _I ∈ GL _n ( C ), so dass A · P _I = (A _I | A e _I ) f¨ ur A ∈ St(k, n) gilt. Wir definieren p e : St(k, n) → C ^N+1 \ {0} durch

p(A) := (det e A I | I ∈ I k,n ).

Dann ist p(G e · A) = det G · p(A), und e p e induziert eine Abbildung p : G k,n → P ^N , so dass folgendes Diagramn kommutiert:

St(k, n) p e

C ⁿ⁺¹ \ {0}

π _k,n π

G _k,n p

P ⁿ

F¨ ur I = (i ₁ , . . . , i _k ) sei e _I := e _i

∧ · · · ∧ e _i

. Dann ist a ₁ ∧ · · · ∧ a _k = X

I∈I

det A _I · e _I ,

und daher p = pl.

Sei ϕ _I : U _I → M _k,n−k ( C ) ein komplexes Koordinatensystem f¨ ur G _k,n . Dann ist ϕ ⁻¹ _I (B) = π _k,n (E _k |B) · P ⁻¹ _I

und p ◦ ϕ ⁻¹ _I (B) = π ◦ p e (E _k |B) · P ⁻¹ _I

= π det (E _k |B) · P ⁻¹ _I

J : J ∈ I _k,n . Offensichtlich ist p eine holomorphe Abbildung.

Jede Matrix B ∈ M k,n−k ( C ) kann in der Form

B = b _k+1 ^t , . . . , b _n ^t

geschrieben werden, mit b _µ ∈ C ^k f¨ ur µ = k + 1, . . . , n. Wir haben det (E _k |B) · P ⁻¹ _I

I = 1,

und wenn J = (I \ {i ν }) ∪ {µ} f¨ ur ein ν ∈ {1, . . . , k } und ein µ ∈ {k + 1, . . . , n}

ist, so ist

(E _k |B) · P ⁻¹ _I

· P _J = e ₁ ^t , . . . , e _ν−1 ^t , b _µ ^t , e _ν+1 ^t , . . . , e _k ^t , und daher det (E _n |B) · P ⁻¹ _I

J = b _νµ . Also enth¨ alt p ◦ ϕ ⁻¹ _I (B) die Komponenten

1, b _νµ f¨ ur alle ν, µ und einige andere Komponenten. Daraus folgt, dass pl eine

Immersion ist. Da G _k,n kompakt ist, ist pl eine Einbettung.