Juli-Vollklausur – Analysis II f¨ur Ingenieure – L¨osungen – Rechenteil 1. Aufgabe (5 Punkte)
∂f
∂x(x, y) = y
1 + (xy)2, ∂f
∂y(x, y) = x 1 + (xy)2. gradf(1,2) = (25,15)T.
Richtungsvektor der Winkelhalbierenden ist z.B.~v = (1,1)T. Richtungsableitung vonf an der Stelle (1,2) in Richtung~v
gradf(1,2)·~v = 2
5 1 5
· 1
1
= 3 5.
2. Aufgabe (5 Punkte)
Gesucht ist eine Funktion f :R3 →R mit gradf =~v,d.h.
∂f
∂x(x, y, z) =y2cosx, ∂f
∂y(x, y, z) =e2z + 2ysinx, ∂f
∂z(x, y, z) = 2ye2z. 1. Gleichung: ⇒ f(x, y, z) = y2sinx+c(y, z).
2. Gleichung: ⇒ ∂c∂y(y, z) =e2z ⇒ f(x, y, z) =y2sinx+ye2z +d(z).
3. Gleichung: ⇒ ∂d∂z(z) = 0 ⇒ f(x, y, z) =y2sinx+ye2z+k.
3. Aufgabe (10 Punkte)
Kandidaten f¨ur Extremstellen im Inneren:
gradf =~0 ⇔ 4(x−1) = 0, 10y = 0 ⇔ x= 1, y= 0.
(1,0) ist der einzige kritische Punkt im Inneren.
Kandidaten f¨ur Extremstellen auf dem Rand g(x, y) =x2 + 5y2−9 = 0:
gradf =λgradg, g = 0 ⇔ 4(x−1) =λ2x, 10y=λ10y, x2+ 5y2−9 = 0. Aus der 2. Gleichung folgt y= 0 oder λ= 1.
F¨ur y= 0 ergibt die 3. Gleichungx=±3.
F¨ur λ= 1 ergibt die 2. Gleichung x= 2 und die 3. Gleichung y=±1.
Kandidaten f¨ur Extremstellen auf dem Rand sind also (3,0), (−3,0), (2,1) und (2,−1).
f(1,0) = 0,f(3,0) = 8,f(−3,0) = 32, f(2,1) = 7 =f(2,−1).
f(1,0) = 0 ist globales Minimum, f(−3,0) = 32 globales Maximum.
4. Aufgabe (6 Punkte)
Parametrisierung der Kurve:~x(t) = t
sint
, t∈[0,2π].
Vektorielles Bogenelement: ds~ = ˙~x(t)dt = 1
cost
dt.
Z
~c
~v·ds~ =
2π
Z
0
t+ sin2t cost
| {z }
· 1
cost
dt
| {z }
=
2π
Z
0
t+ 1dt= 2π(π+ 1).
5. Aufgabe (9 Punkte)
Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse ist (0,0), Schnittpunkt des Kreises mit der positiven x-Achse ist (√
2,0).
Einsetzen vonx2 =yin die Kreisgleichung ergibty+y2 = 2⇒y = 1∨y=−2.Schnittpunkt der Parabel mit dem Kreis im 1. Quadranten ist deshalb (1,1).
Bereichsbeschreibung: B ={(x, y)| 0≤y≤1
| {z }
, √y≤x≤p 2−y2
| {z }} (Schnittpunkte und Bereich m¨ussen nicht explizit dastehen, es z¨ahlt die
”Erkenntnis“.) Z Z
B
x dx dy = Z1
0
√2
−y2
Z
√y
x dx dy= Z1
0
1 2x2
√2
−y2
√y
dy= Z1
0
1
2(2−y2−y)dy
= y−1
6y3− 1 4y2
1
0 = 1− 1 6 −1
4 = 7 12 Alternativrechnung:
B ={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤x2} ∪ {(x, y)|1≤x≤√
2, 0≤y≤√
2−x2} Z Z
B
x dx dy = Z1
0 x2
Z
0
x dy dx +
√2
Z
1
√2
−x2
Z
0
x dy dx = Z1
0
xy
x2 0 dx +
√2
Z
1
xy
√2−x2
0 dx
= Z1
0
x3dx +
√2
Z
1
xp
2−x2dx = 1 4x4
1 0 − 1
3
p2−x23
√2
1 = 1
4 +1 3 = 7
12
6. Aufgabe (5 Punkte)
~c(t) = (cos ln˙ t· 1t , −sin lnt· 1t) = 1t(cos lnt , −sin lnt) Skalares Bogenelement: ds=|~c(t)˙ |dt= 1tp
(cos lnt)2+ (sin lnt)2dt= 1t dt L=R
~c
1ds= Re 1
1
t dt= lnt
e 1 = 1
