April-Vollklausur Analysis I f¨ur Ingenieure L¨osungen - Verst¨andnisteil
1. Aufgabe 7 Punkte
f(x) =x+ 12cosx
f0(x) = 1− 12sin(x)>0. f¨ur allex∈R.
Folglich ist f streng monoton wachsend und daher auf ganz R umkehrbar.
Die Gleichung x+ 12cosx= 12 hat die L¨osung x= 0.
Folglich:
(f−1)0(12) = f01(0) = 1−11
2sin 0 = 1.
2. Aufgabe 5 Punkte
Es ist f0(x) = −21sin(2x), f00(x) = −22cos(2x), f000(x) = 23sin(2x) . Es gilt die Absch¨atzung |f(n)(x)| ≤2n
Folglich:
|Rn(12)|=|f(n+1)(n+1)!(ξ)| · 12n+1
≤ (n+1)!2n+1 12n+1
= (n+1)!1 .
3. Aufgabe 7 Punkte
Die Funktion f: R→R mit
f(x) =
1
2sinx f¨ur x≤ π4
√2−12 cosx f¨urx > π4
ist differenzierbar f¨urx < π4 : f0(x) = 12cosx f¨urx < π4. und differenzierbar f¨ur x > π4 :f0(x) = 12 sinx f¨ur x > π4. Es ist
lim
x&π4 f(x) = lim
x&π4(√
2− 12cosx) = 34√ 2,
x%limπ
4
f(x) = lim
x%π
4
(12sinx) = 14√ 2,
Folglich ist f f¨urx= π4 nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.
4. Aufgabe 7 Punkte
a) (x2−2)(x+1)x2 = A
x+√
2 + x−B√
2 + x+1C b) (x−1)x2−x3 = x−1A + (x−1)B 2 + (x−1)C 3
c) x7x3+12 = x+1A +xBx+C2−x+1.
1
5. Aufgabe 6 Punkte Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar, so existiert ein ξ mit f0(ξ) = f(b)−fb−a(a).
F¨urf(x) = lnx ist f0(x) = 1x
Nach dem MWS: 1ξ = lne−ln 1e−1 = e−11 .
Also ist f¨urf(x) = lnxund x∈[1, e] der Wert ξ =e−1.
6. Aufgabe 8 Punkte
Wahr sind a), b), d), e), g), h).
2
