Aufgabe 1: 5 Punkte

Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 14.01.2015

Maß- und Integralrechnung Übungsblatt 12

Aufgabe 1: 5 Punkte

Zeigen Sie, dass { ^{√ e}

2π : k ∈ Z } ein Orthonormalsystem des L ² _C ([−π, π]) ist.

Aufgabe 2: 5 Punkte

Berechnen Sie die Fourierreihe der 2π-periodischen Fortsetzung der auf [−π, π) de- finierten Funktion f (x) = cosh(x).

Aufgabe 3: 5 Punkte

Sei H ein K -Hilbertraum und U ⊂ H ein Unterraum mit Basis {e 1 , . . . , e d }, wobei d ∈ N . Zeigen Sie, dass lin(e 1 , . . . , e d ) = lin(e 1 , . . . , e d ).

Aufgabe 4: 5 Punkte

Für f ∈ L ¹

C ([−π, π]) definieren wir (S n f )(x) :=

n

X

k=−n

γ k (f )e k (x),

(T _n f )(x) := _n ¹

n−1

X

k=0

(S _k f )(x),

(D _n )(x) :=

( 2n + 1 für x = 0 und

sin(n+

)x

sin(

) für x 6= 0, (F n )(x) :=

( n für x = 0 und

sin

(

)

n sin

(

) für x 6= 0.

Beweisen Sie die Darstellungen

(S _n f )(x) = 1 2π

π

Z

−π

f (y)D _n (x − y) dy und (T _n f )(x) = 1 2π

π

Z

−π

f (y)F _n (x − y) dy.

Abgabe bis Mittwoch, den 21.01.2015 um 10:15 Uhr