Aufgabe 1 (Fixpunktiterationen II) 5 Punkte

(1)

Dr. Ronald St ¨over SoSe 2008 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik

Ubung Nr. 8 ¨

Aufgabe 1 (Fixpunktiterationen II) 5 Punkte

Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall, φ : I −→ R stetig differenzierbar, und x ^∗ ∈ I ein Fixpunkt von φ mit |φ ⁰ (x ^∗ )| 6= 1 .

Zeigen Sie, dass einer der beiden folgenden F ¨alle eintritt:

i) Entweder ist die durch φ definierte Fixpunktiteration lokal konvergent, oder

ii) φ ist in einer Umgebung von x ^∗ invertierbar und die durch φ ⁻¹ definierte Fixpunktiteration ist f ¨ur x ^∗ lokal konvergent.

Aufgabe 2 (Sekantenverfahren) 5 Punkte

Das Sekantenverfahren ist eine Abwandlung des Newton-Verfahrens f ¨ur reellwertige Funktionen, das die Berechnung von Ableitungen vermeidet, indem diese durch Differenzenquotienten ersetzt werden:

x k+1 = x k − f (x _k ) · (x _k − x _k−1 )

f (x _k ) − f (x k−1 ) , k = 1, 2, 3, . . .

Hier m ¨ussen zwei Startwerte x ₀ , x ₁ vorgegeben werden.

Programmieren Sie das Sekanten-Verfahren und testen Sie es anhand der Beispiele i) f 1 (x) = sin x − ¹ ₂ ii) f 2 (x) = sin x − 1 .

Ermitteln Sie außerdem numerisch die Konvergenzordnung p des Sekantenverfahrens, indem Sie ausgehend von x ₀ = π und x ₁ = ³ ₄ π f ¨unf Iterationsschritte durchf ¨uhren und jeweils die Quotien- ten ^|x

^k+1

^−x

∗

|

|x

_k

−x

^∗

|

^p

berechnen.

Aufgabe 3 (Newton-Verfahren im R ⁿ ⁾ ^{6 Punkte}

Programmieren Sie zwei Varianten des Newton-Verfahrens im R ⁿ : einmal sollen die Ableitungen direkt benutzt werden, in der zweiten Varianten sollen die Jacobi-Matrizen DF (x ^(k) ) mittels finiter Differenzen, d.h.

∂F _i (x)

∂x _j x=x

k

= F _i (x ^(k) + he _j ) − F _i (x ^(k) )

h ,

wobei e _j den j -ten Einheitsvektor im R ⁿ ^und h ∈ R die Schrittweite bezeichnet, approximiert

werden.

(2)

Programmieren Sie die Verfahren mit der Iterationsvorschrift A∆x ^(k) = F (x ^(k) ),

x ^(k+1) = x ^(k) − ∆x ^(k) ,

und bestimmen Sie dabei ∆x ^(k) mittels einer geeigneten LU-Zerlegung von A (wobei A hier f ¨ur DF (x ^(k) ) bzw. deren Approximation steht). Das Verfahren soll abbrechen, falls k∆x ^(k) k ₂ kleiner einer vorgegebenen Toleranz τ ist, oder eine maximale Anzahl an Iterationen erreicht wurde.

Aufgabe 4 (Anwendung des Newton-Verfahrens im R ⁿ ⁾ ^{4 Punkte} Testen Sie Ihre Verfahren (mit DF (x ^(k) ) explizit bzw. Approximation durch finite Differenzen) aus Aufgabe 3 an der Funktion

F (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) =





1.2 · 10 ⁵ · x ⁻¹ ₂ − 1 10 ¹⁰ (x 2 + x 3 )(x 1 x 2 x 3 ) ⁻¹ − 40 2 · 10 ⁵ x ⁻¹ ₁ − 2 · 10 ⁴ (x ₂ + x ₃ )(x ₂ x ₃ ) ⁻¹ − 1





mit der Nullstelle x ^∗ ≈ (0.44139 · 10 ⁵ , 0.12 · 10 ⁶ , 0.59445 · 10 ⁴ ) ^T .

Verwenden Sie verschiedene Startwerte, z.B. x 0 = (10 ⁴ , 10 ⁴ , 10 ⁴ ) ^T , und h = 10 ⁻⁶ als Schritt- weite. Was passiert, wenn Sie kleinere h benutzen?

Abgabe bis: 03. Juni 2008

10.30 Uhr

Postfach 84

Aufgabe 1 (Fixpunktiterationen II) 5 Punkte

Dr. Ronald St ¨over SoSe 2008 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik

Ubung Nr. 8 ¨

Aufgabe 1 (Fixpunktiterationen II) 5 Punkte

Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall, φ : I −→ R stetig differenzierbar, und x ∗ ∈ I ein Fixpunkt von φ mit |φ 0 (x ∗ )| 6= 1 .

Zeigen Sie, dass einer der beiden folgenden F ¨alle eintritt:

i) Entweder ist die durch φ definierte Fixpunktiteration lokal konvergent, oder

ii) φ ist in einer Umgebung von x ∗ invertierbar und die durch φ −1 definierte Fixpunktiteration ist f ¨ur x ∗ lokal konvergent.

Aufgabe 2 (Sekantenverfahren) 5 Punkte

Das Sekantenverfahren ist eine Abwandlung des Newton-Verfahrens f ¨ur reellwertige Funktionen, das die Berechnung von Ableitungen vermeidet, indem diese durch Differenzenquotienten ersetzt werden:

x k+1 = x k − f (x k ) · (x k − x k−1 )

f (x k ) − f (x k−1 ) , k = 1, 2, 3, . . .

Hier m ¨ussen zwei Startwerte x 0 , x 1 vorgegeben werden.

Programmieren Sie das Sekanten-Verfahren und testen Sie es anhand der Beispiele i) f 1 (x) = sin x − 1 2 ii) f 2 (x) = sin x − 1 .

Ermitteln Sie außerdem numerisch die Konvergenzordnung p des Sekantenverfahrens, indem Sie ausgehend von x 0 = π und x 1 = 3 4 π f ¨unf Iterationsschritte durchf ¨uhren und jeweils die Quotien- ten |x

−x

|

|x

−x

|

berechnen.

Aufgabe 3 (Newton-Verfahren im R n ) 6 Punkte

Programmieren Sie zwei Varianten des Newton-Verfahrens im R n : einmal sollen die Ableitungen direkt benutzt werden, in der zweiten Varianten sollen die Jacobi-Matrizen DF (x (k) ) mittels finiter Differenzen, d.h.

∂F i (x)

∂x j x=x

= F i (x (k) + he j ) − F i (x (k) )

h ,

wobei e j den j -ten Einheitsvektor im R n und h ∈ R die Schrittweite bezeichnet, approximiert

werden.

Programmieren Sie die Verfahren mit der Iterationsvorschrift A∆x (k) = F (x (k) ),

x (k+1) = x (k) − ∆x (k) ,

und bestimmen Sie dabei ∆x (k) mittels einer geeigneten LU-Zerlegung von A (wobei A hier f ¨ur DF (x (k) ) bzw. deren Approximation steht). Das Verfahren soll abbrechen, falls k∆x (k) k 2 kleiner einer vorgegebenen Toleranz τ ist, oder eine maximale Anzahl an Iterationen erreicht wurde.

Aufgabe 4 (Anwendung des Newton-Verfahrens im R n ) 4 Punkte Testen Sie Ihre Verfahren (mit DF (x (k) ) explizit bzw. Approximation durch finite Differenzen) aus Aufgabe 3 an der Funktion

F (x 1 , x 2 , x 3 ) =





1.2 · 10 5 · x −1 2 − 1 10 10 (x 2 + x 3 )(x 1 x 2 x 3 ) −1 − 40 2 · 10 5 x −1 1 − 2 · 10 4 (x 2 + x 3 )(x 2 x 3 ) −1 − 1





mit der Nullstelle x ∗ ≈ (0.44139 · 10 5 , 0.12 · 10 6 , 0.59445 · 10 4 ) T .

Verwenden Sie verschiedene Startwerte, z.B. x 0 = (10 4 , 10 4 , 10 4 ) T , und h = 10 −6 als Schritt- weite. Was passiert, wenn Sie kleinere h benutzen?

Abgabe bis: 03. Juni 2008

10.30 Uhr

Postfach 84

Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall, φ : I −→ R stetig differenzierbar, und x ^∗ ∈ I ein Fixpunkt von φ mit |φ ⁰ (x ^∗ )| 6= 1 .

ii) φ ist in einer Umgebung von x ^∗ invertierbar und die durch φ ⁻¹ definierte Fixpunktiteration ist f ¨ur x ^∗ lokal konvergent.

x k+1 = x k − f (x _k ) · (x _k − x _k−1 )

f (x _k ) − f (x k−1 ) , k = 1, 2, 3, . . .

Hier m ¨ussen zwei Startwerte x ₀ , x ₁ vorgegeben werden.

Programmieren Sie das Sekanten-Verfahren und testen Sie es anhand der Beispiele i) f 1 (x) = sin x − ¹ ₂ ii) f 2 (x) = sin x − 1 .

Ermitteln Sie außerdem numerisch die Konvergenzordnung p des Sekantenverfahrens, indem Sie ausgehend von x ₀ = π und x ₁ = ³ ₄ π f ¨unf Iterationsschritte durchf ¨uhren und jeweils die Quotien- ten ^|x

^−x

Aufgabe 3 (Newton-Verfahren im R ⁿ ⁾ ^{6 Punkte}

Programmieren Sie zwei Varianten des Newton-Verfahrens im R ⁿ : einmal sollen die Ableitungen direkt benutzt werden, in der zweiten Varianten sollen die Jacobi-Matrizen DF (x ^(k) ) mittels finiter Differenzen, d.h.

∂F _i (x)

∂x _j x=x

= F _i (x ^(k) + he _j ) − F _i (x ^(k) )

wobei e _j den j -ten Einheitsvektor im R ⁿ ^und h ∈ R die Schrittweite bezeichnet, approximiert

Programmieren Sie die Verfahren mit der Iterationsvorschrift A∆x ^(k) = F (x ^(k) ),

x ^(k+1) = x ^(k) − ∆x ^(k) ,

und bestimmen Sie dabei ∆x ^(k) mittels einer geeigneten LU-Zerlegung von A (wobei A hier f ¨ur DF (x ^(k) ) bzw. deren Approximation steht). Das Verfahren soll abbrechen, falls k∆x ^(k) k ₂ kleiner einer vorgegebenen Toleranz τ ist, oder eine maximale Anzahl an Iterationen erreicht wurde.

Aufgabe 4 (Anwendung des Newton-Verfahrens im R ⁿ ⁾ ^{4 Punkte} Testen Sie Ihre Verfahren (mit DF (x ^(k) ) explizit bzw. Approximation durch finite Differenzen) aus Aufgabe 3 an der Funktion

F (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) =

1.2 · 10 ⁵ · x ⁻¹ ₂ − 1 10 ¹⁰ (x 2 + x 3 )(x 1 x 2 x 3 ) ⁻¹ − 40 2 · 10 ⁵ x ⁻¹ ₁ − 2 · 10 ⁴ (x ₂ + x ₃ )(x ₂ x ₃ ) ⁻¹ − 1

mit der Nullstelle x ^∗ ≈ (0.44139 · 10 ⁵ , 0.12 · 10 ⁶ , 0.59445 · 10 ⁴ ) ^T .

Verwenden Sie verschiedene Startwerte, z.B. x 0 = (10 ⁴ , 10 ⁴ , 10 ⁴ ) ^T , und h = 10 ⁻⁶ als Schritt- weite. Was passiert, wenn Sie kleinere h benutzen?