Aufgabe 1 (Randbedingungen bei der Spline-Interpolation) 4 Punkte Das durch

(1)

Dr. Ronald St ¨over SoSe 2008 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik

Ubung Nr. 10 ¨

Aufgabe 1 (Randbedingungen bei der Spline-Interpolation) 4 Punkte Das durch

f(t) = √ 2 − √

2 − t

²

, t ∈ [−1, 1]

beschriebene Kreissegment soll durch einen kubischen C

²

-Spline mit zwei Teilst ¨ucken approx- imiert werden, d.h. gegeben sind

t

0

= −1 , t

1

= 0 , t

2

= 1 , und f

i

= f(t

i

) , i = 0, 1, 2 .

Bestimmen Sie f ür nat ürliche und f ür vollst ändige Randbedingungen das entsprechende Glei- chungssystem, und l ösen Sie diese von Hand.

Plotten Sie die resultierenden Splines im Vergleich zum Kreissegment. Welche Art von Randbe- dingungen scheint hier angebrachter zu sein?

Aufgabe 2 (Kardinale B-Splines) 4 Punkte

Die Faltung ? zweier reeller Funktion f, g definiert man durch (f ? g)(x) :=

Z

R

f(y) g(x − y) dy

(wobei f, g geeignete Eigenschaften haben m ¨ogen, sodass dieses Integral existiert).

Ausgehend von der charakteristischen Funktion χ

_[0,1)

kann man mithilfe dieser Faltung die so genannten kardinalen B-Splines definieren:

N

₀

:= χ

_[0,1)

N

_k

:= χ

_[0,1)

? N

k−1

f ¨ur k = 1, 2, . . .

a) Berechnen Sie N

₁

, N

₂

und N

₃

(d.h. geben Sie st ¨uckweise Funktionsvorschriften an).

b) Begr ¨unden Sie: N

₃

∈ S

_Z,3

, d.h. N

₃

ist ein kubischer Spline zu Gitterpunkten t

_i

∈ Z ^. c) Skizzieren Sie N

0

, N

1

, N

2

und N

3

.

Aufgabe 3 (Quadratische C

¹

-Splines) 5 Punkte

Stellen Sie – analog zum Vorgehen bei kubischen C

²

-Splines – ein Gleichungssystem zur Berech- nung von quadratischen C

¹

-Splines auf. ¨ Uberlegen Sie sich dabei, wie Sie mit dem freien Para- meter umgehen.

Implementieren Sie auf dieser Grundlage ein Programm zur Berechnung und Auswertung von quadratischen C

¹

-Splines zu gegebenen Daten (t

_i

, f

_i

) , i = 0, . . . , n , mit paarweise verschiede- nen t

i

. Testen Sie es (f ¨ur unterschiedliche n ) z.B. anhand von t

i

= i

^2π_n

und f

i

= sin(t

i

) , wobei Sie per Plot den Spline und die Sinus-Funktion vergleichen.

Was ist eine sinnvolle Vorgabe f ¨ur den freien Parameter?

(2)

Aufgabe 4 (Implementierung der kubischen C

²

-Spline-Interpolation) 7 Punkte Schreiben und implementieren Sie ein Programm zur Berechnung des nat ¨urlichen, kubischen C

²

-Splines s zu gegebenen Daten (t

i

, f

i

) , i = 0, . . . , n mit paarweise verschiedenen t

i

.

Testen Sie Ihr Programm f ¨ur verschiedene n anhand des Beispiels t

_i

= −5 + 10

_nⁱ

, f

_i

= f(t

_i

) , i = 0, . . . , n , wobei

f : [−5, 5] −→ R , f(t) = 1 1 + t

²

Aufgabe 1 (Randbedingungen bei der Spline-Interpolation) 4 Punkte Das durch

Dr. Ronald St ¨over SoSe 2008 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik

Ubung Nr. 10 ¨

Aufgabe 1 (Randbedingungen bei der Spline-Interpolation) 4 Punkte Das durch

f(t) = √ 2 − √

2 − t

, t ∈ [−1, 1]

beschriebene Kreissegment soll durch einen kubischen C

-Spline mit zwei Teilst ¨ucken approx- imiert werden, d.h. gegeben sind

t

= −1 , t

= 0 , t

= 1 , und f

= f(t

) , i = 0, 1, 2 .

Bestimmen Sie f ür nat ürliche und f ür vollst ändige Randbedingungen das entsprechende Glei- chungssystem, und l ösen Sie diese von Hand.

Plotten Sie die resultierenden Splines im Vergleich zum Kreissegment. Welche Art von Randbe- dingungen scheint hier angebrachter zu sein?

Aufgabe 2 (Kardinale B-Splines) 4 Punkte

Die Faltung ? zweier reeller Funktion f, g definiert man durch (f ? g)(x) :=

Z

f(y) g(x − y) dy

(wobei f, g geeignete Eigenschaften haben m ¨ogen, sodass dieses Integral existiert).

Ausgehend von der charakteristischen Funktion χ

kann man mithilfe dieser Faltung die so genannten kardinalen B-Splines definieren:

N

:= χ

N

:= χ

? N

f ¨ur k = 1, 2, . . .

a) Berechnen Sie N

, N

und N

(d.h. geben Sie st ¨uckweise Funktionsvorschriften an).

b) Begr ¨unden Sie: N

∈ S

, d.h. N

ist ein kubischer Spline zu Gitterpunkten t

∈ Z . c) Skizzieren Sie N

, N

, N

und N

.

Aufgabe 3 (Quadratische C

-Splines) 5 Punkte

Stellen Sie – analog zum Vorgehen bei kubischen C

-Splines – ein Gleichungssystem zur Berech- nung von quadratischen C

-Splines auf. ¨ Uberlegen Sie sich dabei, wie Sie mit dem freien Para- meter umgehen.

Implementieren Sie auf dieser Grundlage ein Programm zur Berechnung und Auswertung von quadratischen C

-Splines zu gegebenen Daten (t

, f

) , i = 0, . . . , n , mit paarweise verschiede- nen t

. Testen Sie es (f ¨ur unterschiedliche n ) z.B. anhand von t

= i

und f

= sin(t

) , wobei Sie per Plot den Spline und die Sinus-Funktion vergleichen.

Was ist eine sinnvolle Vorgabe f ¨ur den freien Parameter?

Aufgabe 4 (Implementierung der kubischen C

-Spline-Interpolation) 7 Punkte Schreiben und implementieren Sie ein Programm zur Berechnung des nat ¨urlichen, kubischen C

-Splines s zu gegebenen Daten (t

, f

) , i = 0, . . . , n mit paarweise verschiedenen t

.

Testen Sie Ihr Programm f ¨ur verschiedene n anhand des Beispiels t

= −5 + 10

, f

= f(t

) , i = 0, . . . , n , wobei

f : [−5, 5] −→ R , f(t) = 1 1 + t

.

Vergleichen Sie s und f einmal graphisch, dann durch Betrachtung der Funktionswerte an den Intervallmittelpunkten

.

Abgabe bis: 17. Juni 2008

10.30 Uhr

Postfach 84

∈ Z ^. c) Skizzieren Sie N