Numerische Mathematik 2

Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik 2

Ubung Nr. 2 ¨

Aufgabe 1 (Gewichte der Newton-Cotes-Formeln) 5 Punkte Die Gewichtew_j der Newton-Cotes-Formel

I^(N)(f) = (b−a)

N

X

j=0

w_jf(t_j)

berechnen sich bekanntlich als

w_j = _N¹ Z N

0 N

Y

k=0,k6=j

s−k

j−k ds= _b−a¹ Z b

a

L_j(t)dt .

Zeigen Sie:

a) PN

j=0w_j = 1

b) wN−j =w_j f ¨urj = 0, . . . , N

Aufgabe 2 (Alternative Herleitung der Simpson-Regel) 5 Punkte Bestimmen Sie durch Koeffizientenvergleich geeigneter Taylor-Entwicklungen Gewichtea₀, a₁, a₂ so, dass die Quadraturformel

I(f) := a₀f(a) +a₁f ^a+b₂

+a₂f(b) zur Approximation vonRb

a f(t)dtf ¨ur Polynome von m ¨oglichst hohem Grad exakt ist.

Aufgabe 3 (Implementierung Simpson-Regel) 5 Punkte

Implementieren Sie die zusammengesetzte Simson-Regel und approximieren Sie damit Z 2

1

1 t dt

bei Verwendung vonn= 2^k,k = 1, . . . ,9gleichgroßen Teilintervallen. Wie verhalten sich dabei die Fehler?

Abgabe bis: 03. November 2008 10.00 Uhr

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