Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

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Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, L¨ osungsvorschl¨ age zu Blatt 2, ohne Gew¨ ahr, Seite 1 von 4

V 2.3. Bestimmen Sie die allgemeinen L¨ osungen der folgenden Differentialgleichungen mit der An- satzmethode. Berechnen Sie, falls Anfangsbedingungen angegeben sind, die L¨ osungen der zugeh¨ origen Anfangswertprobleme,

b) y ⁰⁰ (t) + 2y ⁰ (t) + 2y(t) = 2 + 2t − sin(t) − 2 cos(t).

Idee: Setze h ₁ (t) = 2 + 2t und h ₂ (t) = − sin(t) − 2 cos(t) und bestimme mit Hilfe der Ansatzmethode jeweils eine partikul¨ are L¨ osung von y ⁰⁰ (t) + 2y ⁰ (t) + 2y(t) = h _i (t).

Nullstellen des charakteristische Polynoms: P (λ) = λ ² + 2λ + 2 = (λ + 1 − i)(λ + 1 + i). F¨ ur die rechte Seite h ₁ (t) = 2 + 2t bekommt man den Ansatz y _P,1 (t) = r ₁ t + r ₀ , einsetzen in die Differenti- algleichung und Koeffizientenvergleich liefert die partikul¨ are L¨ osung y _P,1 (t) = t. F¨ ur die rechte Seite h 2 (t) = − sin(t) − 2 cos(t) bekommt man den Ansatz y P,2 (t) = r 0 cos(t) + s 0 sin(t), einsetzen in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich liefert die partikul¨ are L¨ osung y _P,2 (t) = − sin(t). Somit ist y _P (t) = t − sin(t) eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung. Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung ist dann y c (t) = t − sin(t) + c 1 e ^−t cos(t) + c 2 e ^−t sin(t).

V 2.4. L¨ osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15).

Berechnen Sie in a) auch die L¨ osung des zugeh¨ origen Anfangswertproblems, b) y ⁰⁰ (t) − 4y(t) = 1

cosh(2t) .

Man ben¨ otigt die allgemeine L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen Gleichung, und dazu die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, P (λ) = λ ² − 4 = (λ − 2)(λ + 2). Also ist y _h,c (t) = c 1 e ^2t + c 2 e ^−2t . Der Ansatz mit Variation der Konstanten konstatiert eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Gleichung der Form

y P (t) = c 1 (t)e ^2t + c 2 (t)e ^−2t , wobei die Funktionen c 1 (t), c 2 (t) durch die Bedingungen

c ⁰ ₁ (t)e ^2t + c ⁰ ₂ (t)e ^−2t = 0, (I)

2c ⁰ ₁ (t)e ^2t − 2c ⁰ ₂ (t)e ^−2t = 1

cosh(2t) (II)

gegeben sind. Man ersetzt _cosh(2t) ¹ = _e

+e ²

, teilt (II) durch zwei und addiert die Gleichungen, 2c ⁰ ₁ (t)e ^2t = 1

e ^2t + e ^−2t , ⇒ c ⁰ ₁ (t) = e ^−2t

2(e ^2t + e ^−2t ) . (?) Substitution von s = e ^−2t mit dt = − _2s ¹ ds liefert

c 1 (t) =

Z e ^−2t

2(e ^2t + e ^−2t ) dt = 1 2

Z s

1 s + s

1

−2s ds = − 1 4

Z 1

1+s

s

ds = − 1 4

Z s 1 + s ² ds.

Substitution von u = s ² (oder auch MaI.Bem.9.9(iv)) liefert c ₁ (t) = − 1

4 Z s

1 + u · 1

2s du = − 1

8 ln(1 + s ² ) = − 1

8 ln(1 + e ^−4t ).

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

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Um c 2 (t) zu berechnen, l¨ ost man (I) nach c ⁰ ₂ (t) auf und setzt c ⁰ ₁ (t) aus (?) ein:

c ⁰ ₂ (t)e ^−2t = −c ⁰ ₁ (t)e ^2t = − e ^−2t

2(e ^2t + e ^−2t ) · e ^2t = − 1

2 · 1

e ^2t + e ^−2t ⇒ c ⁰ ₂ (t) = − 1

2 · e ^2t e ^2t + e ^−2t . Eine analoge Integration liefert

c 2 (t) = − 1

8 ln(1 + e ^4t ).

Also ist

y P (t) = − 1

8 ln(1 + e ^−4t ) · e ^2t − 1

8 ln(1 + e ^4t )e ^−2t und die allgemeine L¨ osung ist

y _c (t) = y _h,c (t) + y _P (t) = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^−2t − 1

8 ln(1 + e ^−4t ) · e ^2t − 1

8 ln(1 + e ^4t )e ^−2t .

S 2.5. L¨ osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit der Ansatzmethode, a) y ⁰⁰ (t) − 4y(t) = 8 cos(2t).

Charakteristisches Polynom: P (λ) = λ ² − 4 = (λ + 2)(λ − 2).

Der Ansatz y p (t) = r 0 cos(t) + s 0 sin(t) liefert die partikul¨ are L¨ osung y p (t) = − cos(2t) und die allgemeine L¨ osung

y _c (t) = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^−2t − cos(2t).

b) y ⁰⁰ (t) − 4y ⁰ (t) + 13y(t) = 13t ² − 8t + 15, y(0) = 1, y ⁰ (0) = 0.

Charakteristisches Polynom: P (λ) = λ ² − 4λ + 13 = (λ − 2 − 3i)(λ − 2 + 3i).

Der Ansatz y _p (t) = r ₂ t ² + r ₁ t + r ₀ liefert die partikul¨ are L¨ osung y _p (t) = t ² + 1 und die allgemeine L¨ osung

y _c (t) = t ² + 1 + c ₁ e ^2t cos(3t) + c ₂ e ^2t sin(3t).

Um das Anfangswertproblem zu l¨ osen, setzt man t = 0 in y _c (t) und y _c ⁰ (t) ein und berechnet aus den Gleichungen 1 = y _c (0) = 1 + c ₁ , 0 = y ⁰ _c (0) = 3c ₂ , dass c ₁ = 0, c ₂ = 0. Die L¨ osung des Anfangswertproblems ist also y(t) = t ² + 1.

c) y ⁰⁰ (t) − 6y ⁰ (t) + 9y(t) = 2e ^3t , y(0) = 1, y ⁰ (0) = 3.

Charakteristisches Polynom: P (λ) = λ ² − 6λ + 9 = (λ − 3) ² .

Der Ansatz y _p (t) = r ₀ t ² e ^3t liefert die partikul¨ are L¨ osung y _p (t) = t ² e ^3t und die allgemeine L¨ osung y c (t) = (c 1 + c 2 t + t ² )e ^3t .

Um das Anfangswertproblem zu l¨ osen, setzt man t = 0 in y c (t) und y _c ⁰ (t) ein und berechnet aus den Gleichungen 1 = y _c (0) = c ₁ , 3 = y _c ⁰ (0) = c ₂ + 3c ₁ , dass c ₁ = 1, c ₂ = 0. Die L¨ osung des Anfangswertproblems ist also y(t) = (t ² + 1)e ^3t .

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S 2.6. L¨ osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15), a) y ⁰⁰ (t) − 6y ⁰ (t) + 8y(t) = e ^3t

1 + e ^t .

Charakteristisches Polynom: P (λ) = λ ² − 6λ + 8 = (λ − 2)(λ − 4), Ansatz mit Variation der Konstanten y P (t) = c 1 (t)e ^2t + c 2 (t)e ^4t , wobei c ₁ (t), c ₂ (t) durch die Gleichungen

c ⁰ ₁ (t)e ^2t + c ⁰ ₂ (t)e ^4t = 0, (I)

2c ⁰ ₁ (t)e ^2t + 4c ⁰ ₂ (t)e ^4t = e ^3t

1 + e ^t (II)

gegeben sind. (II) − 2 · (I) liefert 2c ⁰ ₂ (t)e ^4t = _1+e ^e

, also ist c 2 (t) =

Z 1 2

e ^−t

1 + e ^t dt = 1 2

Z e ^−t

1 + e ^t dt = 1 2

Z e ^−t

1 + ¹ _s · (−e ^t ) ds = − 1 2

Z 1 1 + ¹ _s ds

= − 1 2

Z

1 − 1

1 + s ds = − 1

2 (s − ln(1 + s)) = − 1

2 (e ^−t − ln(1 + e ^−t )).

Bei der Integration wurde s = e ^−t substituiert.

Um c 1 (t) zu berechnen, l¨ ost man (I) nach c ⁰ ₁ (t) auf und setzt c ⁰ ₂ (t) ein:

c ⁰ ₁ (t) = −e ^−2t c ⁰ ₂ (t)e ^4t = −e ^2t · 1 2 · e ^−t

1 + e ^t = − 1 2 · e ^t

1 + e ^t . Integration mit der Substitution s = e ^t liefert

c 1 (t) = − 1 2

Z e ^t

1 + e ^t dt = − 1 2

Z e ^t

1 + s e ^−t ds = − 1 2

Z 1

1 + s ds = − 1

2 ln(1 + e ^t ).

Also ist

y _P (t) = − 1

2 ln(1 + e ^t ) · e ^2t − ( 1

2 (e ^−t + ln(1 + e ^−t )))e ^4t , und die allgemeine L¨ osung ist

y _c (t) = y _h,c (t) + y _P (t) = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^4t − 1

2 ln(1 + e ^t ) · e ^2t − ( 1

2 (e ^−t + ln(1 + e ^−t )))e ^4t . b) y ⁰⁰ (t) − 3y ⁰ (t) + 2y(t) = 2e ^t cos

t 2

.

Charakteristisches Polynom: P (λ) = λ ² − 3λ + 2 = (λ − 2)(λ − 1), Ansatz mit Variation der Konstanten y P (t) = c 1 (t)e ^2t + c 2 (t)e ^t , wobei c 1 (t), c 2 (t) durch die Gleichungen

c ⁰ ₁ (t)e ^2t + c ⁰ ₂ (t)e ^t = 0, (I)

2c ⁰ ₁ (t)e ^2t + c ⁰ ₂ (t)e ^t = 2e ^t cos t

2

(II)

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gegeben sind. (II) − (I) liefert c ⁰ ₁ (t)e ^2t = 2e ^t cos ₂ ^t

, also ist c ₁ (t) =

Z

2e ^−t cos t

2

dt.

Diese Stammfunktion berechnet man z.B. mit zweimaliger partieller Integration und erh¨ alt c 1 (t) = 4

5 e ^−t sin(t/2) − 2e ^−t cos(t/2) .

Um c ₂ (t) zu berechnen, l¨ ost man (I) nach c ⁰ ₂ (t) auf und setzt c ⁰ ₁ (t) ein:

c ⁰ ₂ (t) = −e ^−t c ⁰ ₁ (t)e ^2t = −e ^t · 2 · e ^−t cos(t/2) = −2 cos(t/2).

Also ist

c ₂ (t) = Z

−2 cos(t/2) dt = −4 sin(t/2).

Insgesamt erh¨ alt man die allgemeine L¨ osung

y _c (t) = y _h,c (t) + y _P (t) = c ₁ e ^2t + c ₂ e ^t − 8

5 e ^t (2 sin(t/2) + cos(t/2)).

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