Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

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Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, L¨ osungsvorschl¨ age zu Blatt 6, ohne Gew¨ ahr, Seite 1 von 2

S 6.7. Es sei U = L









 



 







 2 1 3

−1





 ,





 7 4 3

−3





 ,





 5 7 7 8









 



 







 .

a)





 2 1 3

−1







= √

4 + 1 + 9 + 1 = √ 15,

b

1

= 1

√ 15





 2 1 3

−1





 ,

˜ b

2

=





 7 4 3

−3







− h





 7 4 3

−3







, b

1

ib

₁

=





 7 4 3

−3







− 1

15 (14 + 4 + 9 + 3)





 2 1 3

−1







=





 3 2

−3

−1





 ,

k ˜ b

₂

k = √

9 + 4 + 9 + 1 = √ 23,

b

2

= 1

√ 23





 3 2

−3

−1





 ,

˜ b

₃

=





 5 7 7 8







− h





 5 7 7 8







, b

₁

ib

₁

− h





 5 7 7 8







, b

₂

ib

₂

=





 5 7 7 8







− 2





 2 1 3

−1







− 0 =





 1 5 1 10





 ,

k ˜ b

₃

k = √

1 + 25 + 1 + 100 = √ 127,

b

₃

= 1

√ 127





 1 5 1 10





 .

Somit ist B = {b

₁

, b

2

, b

3

} eine Orthonomalbasis von U .

b) Berechnen Sie die Projektion P

U

(v) des Vektors v = (157, −109, 0, 115) auf U . Mit der Formel aus Satz 3.18 ergibt sich

P

U

(v) =hv, b

₁

ib

₁

+ hv, b

₂

ib

₂

+ hv, b

₃

ib

₃

= 1

15 · (314 − 109 + 0 − 115)(2, 1, 3, −1) + 1

23 · (471 − 218 + 0 − 115)(3, 2, −3, −1)+

1 127 · (157 − 545 + 0 + 1150)(1, 5, 1, 10)

=6(2, 1, 3, −1) + 6(3, 2, −3, −1) + 6(1, 5, 1, 10) = 6(6, 8, 1, 8)

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

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Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, L¨ osungsvorschl¨ age zu Blatt 6, ohne Gew¨ ahr, Seite 2 von 2

S 6.8. Es seien V , W und Z Vektorr¨ aume und f : W → Z und g : V → W seien lineare Abbildungen.

a) Beweisen Sie, dass auch die Verkettung f ◦ g eine lineare Abbildung ist. D.h. rechnen Sie nach, dass L1 f (g(u + v)) = f (g(u)) + f (g(v)) und L2 f(g(λu)) = λf(g(u)) gelten.

L1 f(g(u + v))

^{L1 f¨}

=

^ur^g

f (g(u) + g(v))

^{L1 f¨}

=

^ur^f

f (g(u)) + f (g(v)).

L2 f(g(λu))

^{L2 f¨}

=

^ur^g

f (λg(u))

^{L2 f¨}

=

^ur^f

λf(g(u)).

b) Beweisen Sie, dass Ker(f ) ein Untervektorraum von W ist.

U1 Weil W ein Vektorraum ist, enth¨ alt W mindestens einen Vektor, und zwar den Nullvektor 0.

Dieser ist im Kern der linearen Abbildung f , da f(0)

Satz 2.3(ii)

= f (0·0)

^L2

= 0 ·f (0)

Satz 2.3(ii)

= 0.

Also ist Ker(f ) 6= ∅.

U2 Angenommen u, v ∈ Ker(f). Dann ist f (u + v)

^L1

= f(u) + f (v) = 0 + 0

^V3

= 0. Also ist u + v ∈ Ker(f ).

U3 Angenommen v ∈ Ker(f) und λ ∈ K. Dann ist f (λ · u)

^L2

= λ · f (u) = λ · 0 = 0. Also ist λu ∈ Ker(f ).

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2