Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Vorlesung: Prof. J. Plefka Ubungen: Dr. H.-J. Otto ¨

Mathematische Grundlagen (WS 07/08)

Ubungsblatt 1 ¨

Ausgabe: 17.10.07 Abgabe: 24.10.07

Aufg. 1

(2 Punkte)

In welcher Gr¨oßenrelation stehen die 4 Zahlen

| r ~

± r ~

| ; || r ~

| ± | r ~

|| ?

Aufg. 2

(3 Punkte)

Seien ~a,~b zwei unabh¨angige Vektoren mit Betrag a bzw. b (a · b > 0) und

~

r

= (x + 4y)~a + (2x + y + 1) ~b ; r ~

= (y − 2x + 2)~a + (2x − 3y − 1) ~b.

Bestimmen Sie die reellen Zahlen x, y so, dass gilt 3 r ~

= 2 r ~

.

Aufg. 3

(3 Punkte)

Im ¨ ublichen xyz−Koordinatensystem seien die Punkte mit Koordinaten A = (2, 3, −1) ; B = (4, −3, 2)

gegeben. Man bestimme ~r = AB, den Betrag ~ |~r| und die Richtungs-Cosinus mit den 3 Achsen. Welche Relation besteht zwischen den 3 Cosinus ?

1

Aufg. 4

(6 Punkte)

Bzgl. der orthonormierten Basis

~

e

, ~ e

, ~ e

, ~ e

e ~

= δ

werden 3 Vektoren r ~

(k=1,2,3) definiert durch

~

r

= e ~

+ e

~ (~ e

≡ e ~

).

(a)Geben Sie die Einheitsvektoren η ~

in Richtung der r ~

(k=1,2,3) in Koordinaten der Basis e ~

, ~ e

, ~ e

an.

(b)Geben Sie die Einheitsvektoren e ~

(i=1,2,3) in Koordinaten zur (nichtorthogonalen) Basis η ~

, ~ η

, ~ η

an.

(c)Berechnen Sie die 9 Elemente der Matrix der Skalarprodukte (“Metrik”) g

≡ η ~

η ~

. Welche geometrische Bedeutung haben die nichtdiagonalen Eintr¨age ? (d)Seien Vektoren ~a,~b durch ihre Koordinaten a

, b

(k=1,2,3) bzgl.

der η−Basis gegeben, also z.b.

~a =

X3 k=1

a

· η ~

. Dr¨ ucken Sie das Skalarprodukt ~a · ~b durch diese η− Koordinaten und die unter (c) definierte Metrik aus.

Aufg. 5

(2 Punkte)

Man begr¨ unde (Summenkonvention !) : δ

δ

δ

= 3 = δ

δ

δ

δ

δ

= 9 δ

δ

δ

= δ

δ

δ

= δ

a

b

c

d

δ

δ

= (~a · d)( ~ ~b · ~c)

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