Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Humboldt-Universit¨ at zu Berlin, Institut f¨ ur Mathematik Mathematik f¨ ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, L¨ osungsvorschl¨ age zu Blatt 8, ohne Gew¨ ahr, Seite 1 von 2

V 8.4.

a) Liegt b = (1, −2, −5, 2, 7) in U = L({(3, 7, −1, −1, 0), (−1, −4, −3, 2, 5), (2, −1, −12, 5, 17)})?

Nein, mittels Geuß-Algorithmus kann man aus dem linearen Gleichungssystem













1 3 12 5

3 −1 2 1

7 −4 −1 −2

−1 2 5 2

0 5 17 7













einen Widerspruch herleiten, d.h. das Gleichungssystem besitzt keine L¨ osung und b ist nicht Linearkombination der angegebenen Vektoren.

b) Liegt b = (−7, 14, 5, −9) in U = L({(1, −2, 1, 2), (4, 1, 2, −2), (−2, 3, 2, −1), (−2, 1, −1, −1)})? Ja, mit dem Gauß-Algorithmus bestimmt man den L¨ osungsvektor x = (λ

1

, λ

2

, λ

3

, λ

4

) des linearen Gleichungssystems









1 4 −2 −2 −7

−2 1 3 1 14

1 2 2 −1 5

2 −2 −1 −1 −9









und erh¨ alt die L¨ osung x = (−1, 1, 3, 2), das heißt, b = (−1) · (1, −2, 1, 2) + 1 · (4, 1, 2, −2) + 3 · (−2, 3, 2, −1) + 2· (−2, 1, −1, −1). Somit ist b iene Linearkombination der angegebenen Vektoren.

S 8.5. Berechnen Sie die Inversen der folgenden Matrizen, A =









0 0 0 1 0 2 0 4 8 0 0 0 0 1 2 0







 , B =





a b c 0 d e 0 0 f



 (wobei a · d · f 6= 0). Mit dem Gauß-Algorithmus bekommt man f¨ ur A









0 0 0 1 0 2 0 4 8 0 0 0 0 1 2 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1









→









1 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 1 0 1 2 0

0 0

¹₈

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1









→









1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 2 −2

0 0

¹₈

0 0

¹₂

0 0

1 0 0 0

0 −

¹₂

0 1









→









1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 1

0 0

¹₈

0 0

¹₂

0 0 0 −

¹₄

0

¹₂

1 0 0 0









→









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0

¹₈

0

−2

¹₂

0 0 1 −

¹₄

0

¹₂

1 0 0 0







 ,

also ist A

⁻¹

=









0 0

¹₈

0

−2

¹₂

0 0 1 −

¹₄

0

¹₂

1 0 0 0







 .

Wegen adf = 0 muss a = d = f = 0 gelten. Also kann man durch diese Zahlen teilen. Das teilen durch b, c, e muss alerdings vermieden werden, ist beim Gauß-Algorithmus aber auch nicht n¨ otig. Man

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2

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Dr. Caroline L¨ obhard

Sommersemester 2016, L¨ osungsvorschl¨ age zu Blatt 8, ohne Gew¨ ahr, Seite 2 von 2

bekommt f¨ ur B also





a b c 0 d e 0 0 f

1 0 0 0 1 0 0 0 1



 →





1

_a^{b c}_a

0 1

^e_d

0 0 1

1

a

0 0

0

¹_d

0 0 0

¹_f



 →







1

_a^b

0 0 1 0 0 0 1

1

a

0 −

_af^c

0

¹_d

−

_{f d}^e

0 0

¹_f







→







1 0 0 0 1 0 0 0 1

1

a

−

_ad^b

−

_af^c

+

_adf^be

0

¹_d

−

_{f d}^e

0 0

¹_f





 .

Also ist B

⁻¹

=







1

a

−

_ad^b

−

_af^c

+

_adf^be

0

¹_d

−

_{f d}^e

0 0

¹_f





 .

S 8.6. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen (in Abh¨ angigkeit von α, x, y, z),

A =





0 4 0 3 1 2 2 1 1



 , B =

















1 2 3 4 5 6 0 2 3 4 5 6 0 0 3 4 5 6 0 0 0 4 5 6 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 3 4

















, C =

sin(α) cos(α)

− cos(α) sin(α)

, D =





1 x x

²

1 y y

²

1 z z

²



 .

Man entwickelt nach der zweiten Spalte oder wendet die Regel von Sarrus an:

det(A) = det





0 4 0 3 1 2 2 1 1



 = (−1)

¹⁺²

· 4 · (3 − 4) = 4.

Succesives Entwickeln nach der jeweils ersten Spalte (oder Zeile) liefert det(B) = 1 · 2 · 3 · 4 · (1 · 4 − 2 · 3) = −48.

Mit der Formel f¨ ur die Determinante einer 2 × 2-Matrix erh¨ alt man det(C) = (sin(α))

²

+ (cos(α))

²

= 1.

Mit der Regel von Sarrus berechnet man

det(D) = yz

²

+ xy

²

+ x

²

z − x

²

y − y

²

z − xz

²

= (y − x)(z − x)(z − y).

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