Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 2 ¨ , Abgabe am Fr. 2.11.12 nach der Vorlesung, Besprechung in den ¨ Ubungen am 5.11.12/7.11.12.

1 Rotierendes Teilchen im Magnetfeld

Gegeben sei ein Teilchen der Masse m und Ladung e, welches auf einer Kreisbahn mit Radius a gehalten wird.

a) Man bestimme die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte des Hamilton-Operators dieses Pro- blems ˆ H = − _2ma ^~

∂ _φ ² wobei φ den Winkel der Kreisbahn bezeichnet.

b) Wie lautet der Erwartungswert des magnetischen Moments ˆ µ z

dieses Teilchen in einem Energie- eigenzustand? Zur Erinerrung: ~ µ = _2mc ^e L. ~

c) Nun werde ein homogenes Magnetfeld B ~ senkrecht zur Kreisbahn eingeschaltet. Man bestimme ein Vektorpotential f¨ ur das Problem in geeigneten Koordinaten.

d) Bestimmen Sie nun die Eigenfunktionen und Eigenwerte des dazugeh¨ origen Hamilton-Operators!

2 Landau-Niveaus

Ein freies Elektron dass sich im homogenen Magnetfeld B ~ = B~ e z in der x − y Ebene bewegt, wird durch den Hamiltonoperator (ω c := |eB/mc|, wobei e = −|e|)

H ˆ _⊥ = ~ ω c

ˆ a ^† ˆ a + 1

2

, mit ˆ a := π ˆ 2 + iˆ π 1

√ 2 ~ .

beschrieben, wobei ˆ ~ π := ^√ _mω ¹

c

[ˆ ~ p − ^e _c A(ˆ ~ ~ x)] mit dem Vektorpotential A ~ = ^B ₂ −x 2

x 1

. Wir betrachten nun die komplexen Kombinationen von Orten und Impulsen in der Ebene

x ± = x ₂ ± ix ₁

√ 2 , p ± = p ₂ ∓ ip ₁

√ 2 . a) Bestimmen Sie die Vertauschungsrelationen der Operatoren ˆ x _± und ˆ p _± .

b) Dr¨ ucken Sie den Vernichter ˆ a in der Ortsdarstellung mittels x _± und ∂ _± ≡ ∂/∂x _± aus. Zeigen Sie dann, dass der hochgradig entartete Grundzustand der Landau-Niveaus die Form

ψ 0 (x + , x − ) = f (x + ) exp

− x + x −

2 r ₀ ²

wobei r 0 :=

r ~ mω c

die “magnetische L¨ ange” ist

!

hat, mit einer beliebigen normierbaren Funktion f .

c) Bestimmen Sie f¨ ur f konstant das Maximum der radialen Wahrscheinlichkeitsdichte w n := ρ |ψ n | ² mit ρ := p

x ² ₁ + x ² ₂ = 2x + x ₋ der angeregten Zust¨ ande ψ n = ^{√ 1}

n! (ˆ a ^† ) ⁿ ψ 0 . Diskutieren Sie Ihr

Ergebnis.