Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 10, Abgabe am Fr. 11.01.13 vor der Vorlesung, ¨ Besprechung in den ¨ Ubungen am 14.01.13/16.01.13.

1 ^Nat¨ urliche Einheiten

Dr¨ ucken Sie Ihr Alter, Ihr Gewicht und Ihre Gr¨oße in nat¨ urlichen Einheiten, d.h. in Gigaelektronenvolt (GeV) aus! Sollten Sie dies als indiskret empfinden, k¨onnen Sie auch die Daten des ¨ Ubungsgruppen- leiter (10600 Tage, 70 kg, 180 cm) benutzen.

2 Transformationseigenschaften der γ-Matrizen und des Viererstroms

Seien γ ^µ (µ = 0, 1, 2, 3) die in der Vorlesung eingef¨ uhrten 4 × 4 Matrizen mit { γ ^µ , γ ^ν } = 2η ^µν . a) Zeigen Sie, dass die Matrizen σ µν := ₂ ⁱ [γ µ , γ ν ] die folgende Gleichung erf¨ ullen:

[σ ρκ , γ ^ν ] = 2i �

δ ^ν _κ γ ρ − δ _ρ ^ν γ κ � .

Hinweis: Beweisen Sie und verwenden Sie die Identit¨at: [AB , C] = A { B , C } − { A , C } B.

b) Sei S eine Lorentztransformation im Spinorraum. Falls S zur Zusammenhangskomponente der Eins geh¨ort k¨onnen wir S = exp( − ⁱ 4 σ µν ω ^µν ) schreiben mit ω ^µν ∈ R .

Zeigen Sie, dass dann S ⁻¹ = γ 0 S ^† γ 0 gilt. Hinweis: Beweisen Sie und verwenden Sie die Gleichungen:

γ _µ ^† = γ 0 γ µ γ 0 und A(e ^B ) ^† A ^{− 1} = e ^AB

^A

.

c) Wir definieren den Viererstrom j ^µ := cψ ^† γ ⁰ γ ^µ ψ. Sei S eine Lorentztransformation im Spinorraum und sei ψ ^� = Sψ der transformierte Spinor. Drucken Sie j ^{� µ} als Funktion von j ^µ aus.

3 ^L¨ osungen der Dirac-Gleichung - ebene Wellen

(a) Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung definierten Spinoren u r (p) und v r (p) L¨osungen von ( � p − m) u r (p) = 0, bzw. ( � p + m) v r (p) = 0 sind.

Uberpr¨ ¨ ufen Sie weiterhin die folgenden Identit¨aten.

(b) ¯ u r (p)u s (p) = δ rs , v ¯ r (p)v s (p) = − δ rs . (c) ¯ u r (p)γ ^µ u s (p) = ^p _m

δ rs = ¯ v r (p)γ ^µ v s (p) . (d) v _r ^† (˜ k)u s (k) = 0 .

4 Gesamtdrehimpulserhaltung im Zentralpotential

Zeigen Sie durch explizite Berechnung des Kommutators, dass der Gesamtdrehimpuls aus Bahn- und Spindrehimpuls

J � = 1 4 × 4 �x × � p + �

2 Σ � , wobei Σ = �

� �σ 0 0 �σ

�

mit dem Dirac-Hamilton-Operator f¨ ur ein Zentralpotential H = c �

�

α � p + βmc �

+ e Φ( | �x | ) kommutiert.

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!