Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

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Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 14 ¨ , Abgabe am Fr. 8.02.13 vor der Vorlesung, Besprechung in den ¨ Ubungen am 11.02.13/13.02.13.

1 Permutationsoperatoren

Sei S

n

die Gruppe der Permutationen von n Elementen. Eine Permutation σ ∈ S

n

ist eine Abbildung σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}.

Dabei ist es zweckm¨ aßig f¨ ur die Permutationen die Schreibweise in ’Zyklen’ (i

1

, . . . , i

k

) einzuf¨ uhren, mit

(i

1

, . . . , i

k

) : i

1

7→ i

2

, i

2

7→ i

3

, . . . , i

k

7→ i

1

und j 7→ j f¨ ur j / ∈ {i

1

, . . . , i

k

}.

Jede beliebige Permutation l¨ asst sich als (nicht eindeutiges) Produkt von Zyklen schreiben. F¨ ur S

₃

haben wir zum Beispiel 6 Permutationen, wovon wir hier 3 angeben:

(123) f ¨ ur 1 7→ 2 7→ 3 7→ 1 , (12)(3) f ¨ ur 1 7→ 2 7→ 1 , 3 7→ 3 , (1)(2)(3) f ¨ ur 1 7→ 1 , 2 7→ 2 , 3 7→ 3 , . . .

Seien nun e

i

die Basisvektoren von C

ⁿ

mit e

^T_i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (Eins auf der i

^ten

Stelle, Null sonst). Wir definieren eine Wirkung von S

n

auf C

ⁿ

durch σ · e

i

= e

_σ(i)

. F¨ ur n = 2 haben wir

(1)(2) · a

b

= a

b

, (12) · a

b

= b

a

.

Dies heißt, dass die Permutation (1)(2), bzw. (1, 2) auf C

²

durch die Einheitsmatrix, bzw.

0 1 1 0

dargestellt wird.

(a) Zeigen Sie, dass der Unterraum W ⊂ C

ⁿ

mit W := span(e

1

+ e

2

+ · · · + e

n

) invariant unter der Wirkung von S

n

ist, d.h. W ist isomorph zur trivialen Darstellung von S

n

.

(b) Wir betrachten nun S

3

und definieren der Unterraum U ⊂ C

ⁿ

, U := span(v

1

, v

2

) mit v

i

:=

e

i

− e

i+1

. Bestimmen Sie die 2 × 2 Matrizen, die die Permutationen (12)(3) und (123) auf U darstellen.

2 Identische Teilchen im harmonischen Oszillator

Zwei identische Teilchen mit Spin 1/2 sollen sich zun¨ achst wechselwirkungsfrei in einem eindimensio- nalen Potential V (q) =

^{m ω}₂²

q

²

aufhalten.

(a) Formulieren Sie den Hamilton-Operator des Zwei-Teilchen-Systems. Begr¨ unden Sie, dass die Eigenenergiezust¨ ande in einen Orts- und einen Spinanteil separieren. Wie lauten die m¨ oglichen Eigenzust¨ ande f¨ ur den Spinanteil?

Wir betrachten nun die Energieeigenzust¨ ande |Ψi = |Ψi

_spin

⊗ |Ψi

_ort

des Zweiteilchensystems mit Spinanteilen

|Ψi

_spin

= 1

√ 2 (| + −i − | − +i) .

Bitte wenden

(2)

(b) Welche Symmetrie muss der Ortsanteil besitzen?

(c) Wie lautet der Grundzustand des Gesamtsystems, und welche Energie besitzt dieser?

¹

Gleiche Frage f¨ ur den ersten angeregten Zustand.

Wir schalten nun eine Wechselwirkung V (q

1

− q

2

) = V

0

e

^−κ(q¹^−q²⁾²

ein, mit κ > 0.

(d) Berechnen Sie in erster Ordnung der St¨ orungstheorie die Energie¨ anderung der Zust¨ ande aus Teilaufgabe (c).

Hinweis: Setzen Sie k =

_mω^~^κ

, benutzen Sie die explizite Form der Wellenfunktionen des harmo- nischen Oszillators und verwenden Sie (ohne Beweis) die Formel

1 π

Z

dx

1

dx

2

e

^−x²¹^−x²²^−k(x¹^−x²⁾²^+αx¹^+βx²

= 1

√ 1 + 2k e

^4(1+2k)¹

(

^(1+k)α²^+(1+k)β²^+2kαβ

)

(e) Was ¨ andert sich f¨ ur den Fall |Ψi

spin

=

^√¹

2

(| + −i + | − +i)? (Keine Rechnung)

3 Pauli-Prinzip

Wir betrachten zwei identische, freie Fermionen mit Impulsen ~ p

₁

und ~ p

₂

(~ p

₁

6= ~ p

₂

) und Spinkompo- nenten ~ m

1

und ~ m

2

, m

i

∈ {±1/2}.

(a) Wie lautet der Gesamtzustand des Zweiteilchensystems?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man die Fermionen an den Orten ~ x

1

und ~ x

2

jeweils in einem infinitesimalen Volumenelement d

³

x

1

d

³

x

2

? Betrachten Sie die F¨ alle m

1

6= m

2

und m

1

= m

2

. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ~ x

1

= ~ x

2

in den beiden F¨ allen?

1Erinnerung:Aus der QM1 ist bekannt, dass ψn(x) =

mw

~π

1/4 1

√

2ⁿn!Hn(ξ)e^−ξ²^/2, mitξ=xp

mw/~die Gleichung

−~² 2m

d² dx² +mw²

2 x²

ψn(x) =Enψn(x)

l¨ost, mitEn=~w(n+¹₂), n= 0,1,2, . . .. Die ersten Hermite-Polynome sind gegeben durch H0(ξ) = 1, H1(ξ) = 2ξ , H2(ξ) = (2ξ)²−2.