(1)Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Physik Dr

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨uller, H. M¨unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 13, Abgabe am Fr. 1.02.13 vor der Vorlesung,¨ Besprechung in den ¨Ubungen am 4.02.13/6.02.13.

1 Die Partialwellenzerlegung

Die asymptotische L¨osung der Schr¨odinger Gleichungψ(r, θ) =A�

e^ikrcos(θ)+f(θ)^eikr_r �

,A∈C,l¨asst sich mit Hilfe der Formeln (Partialwellenentwicklung)

e^ikrcos(θ)r−→^→∞

�∞ l=0

(2l+ 1)i^lsin(kr−^lπ2)

kr Pl(cos(θ)), f(θ) =

�∞ l=0

(2l+ 1)flPl(cos(θ))

in Kugelfl¨achenfunktionen entwickeln. Hier sind die Koeffizientenfl zun¨achst unbekannt.

a) Zeigen Sie under Verwendung der Identit¨aten f¨ur die Lagrange PolynomePl, dass f¨ur den totalen Wirkungsquerschnitt gilt

σ= 4π

�∞ l=0

(2l+ 1)|fl|².

b) Weiterhin ist die folgende Entwicklung m¨oglich: ψ(r, θ) = �∞

l=0Rl(r)Yl0(θ). Zeigen Sie, dass asymptotisch

Rl(r)→C 1 2ikr

� 1

4π(2l+ 1)

�e^2iδle^ikr−(−1)^le^−ikr�

, C∈C, fl= e^iδlsin(δl)

k . (1)

c) Aus dem QM1 Skript wissen wir, dassRl die Gleichung

�

−1

r∂_r²r+l(l+ 1) r +2m

�² V(r)

�

Rl=k²Rl,

erf¨ullen muss. Sei das PotentialV(r) gegeben durchV(r) =∞f¨urr≤aundV(r) = 0 f¨urr > a.

Unter der Annahme, dass nur derl = 0 Term in der Entwicklung beitr¨agt (S-Welle), l¨osen Sie die Differentialgleichung f¨urR0und bestimmen Sieδ0indem Sie die L¨osung mit (1) vergleichen.

Zeigen Sie noch, dass in diesem Fall gilt limk→0σ= 4πa².

2 1d Streuung am Deltafunktionspotential – Transfermatrix

Wir betrachten nun das eindimensionale Problem der Streuung am Deltafunktionspotential V(x) =−v δ⁽¹⁾(x/L),

wobeiv undLbeliebige Konstanten sind. Im Ortsraum gilt f¨ur die Transfermatrix

V(x)ψ⁺(x) =

� ∞

−∞

dx^�T(x, x^�)φ0(x^�).

Verwenden sie das Ergebnis von Aufgabe 2, Blatt 12, um die exacte Transfermatrix dieses Potentials zu bestimmen und vergleichen Sie Ihr Resultat f¨ur ˆT mit einer Aufsummierung der Neumannreihe.

Bitte wenden

3 Streuproblem in Bornscher N¨aherung

Wir betrachten die Streuung eines Teilchens der Masseman einem kugelsymmetrischen Streupotential

V(r) = V0

µre^−µr.

a) Bestimmen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt dieses Problems in der ersten Bornschen N¨aherung.

b) Bestimmen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnittes im Limesµ→0 mit ^V_µ^o →ZZ^�e².