Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 7, ohne Gew¨ahr, Seite 1 von 3
S 7.7. Es sei U =L({(1,0,1,0),(1,0,0,1)}) und PU :R4 →R4 sei die orthogonale Projektion des R4 auf U.
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix vonPU in der kanonischen Basis desR4. Um die Bilder der Basisvektoren zu bestimmen muss man jeweils die orthogonale Projektion berechnen, und dazu braucht man eine Orthonormalbasis vonU. Man wendet also das Verfahren von Gram-Schmidt an:
b1 = 1 k(1,0,1,0)k
1 0 1 0
= 1
√2
1 0 1 0
,
˜b2 =
1 0 0 1
− h
1 0 0 1
, 1
√ 2
1 0 1 0
i · 1
√ 2
1 0 1 0
=
1 0 0 1
−1 2
1 0 1 0
=
1/2
0
−1/2 1
,
b2 = 1
p1/4 + 0 + 1/4 + 1
1/2
0
−1/2 1
= 1
√6
1 0
−1 2
.
Also ist
PU(1,0,0,0) =h
1 0 0 0
, 1
√ 2
1 0 1 0
i 1
√ 2
1 0 1 0
+h
1 0 0 0
, 1
√ 6
1 0
−1 2
i 1
√ 6
1 0
−1 2
=
1/2
0 1/2
0
+
1/6
0
−1/6 1/3
=
2/3
0 1/3 1/3
,
PU(0,1,0,0) =h
0 1 0 0
, 1
√2
1 0 1 0
i 1
√2
1 0 1 0
+h
0 1 0 0
, 1
√6
1 0
−1 2
i 1
√6
1 0
−1 2
=
0 0 0 0
,
PU(0,0,1,0) =h
0 0 1 0
, 1
√2
1 0 1 0
i 1
√2
1 0 1 0
+h
0 0 1 0
, 1
√6
1 0
−1 2
i 1
√6
1 0
−1 2
=
1/2
0 1/2
0
+
−1/6 0 1/6
−1/3
=
1/3
0 2/3
−1/3
,
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 7, ohne Gew¨ahr, Seite 2 von 3
PU(0,0,0,1) =h
0 0 0 1
, 1
√2
1 0 1 0
i 1
√2
1 0 1 0
+h
0 0 0 1
, 1
√6
1 0
−1 2
i 1
√6
1 0
−1 2
=
1/3
0
−1/3 2/3
.
Die Ergebnisse sind bereits als Koordinatenvektoren in der kanonischen Basis angegeben. Die Darstellungsmatrix ist also
A=
2/3 0 1/3 1/3
0 0 0 0
1/3 0 2/3 −1/3 1/3 0 −1/3 2/3
= 1 3
2 0 1 1
0 0 0 0
1 0 2 −1
1 0 −1 2
b) Geben Sie den Rang der Matrix aus a) an.
Die zweite Spalte ist ein Nullvektor, somit linear abh¨angig, die vierte Spalte ist gleich erste Spalte minus dritte Spalte, und damit linear abh¨angig von der ersten und dritten Spalte. Erste und dritte Spalte sind linear unabh¨angig. Also ist dr Rang vonA gleich 2.
c) Bestimmen Sie BasenB,Cf¨ur den Urbild- bz. den Bildraum vonPU, so dassA=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
die Darstellungsmatrix vonPU bez¨uglich dieser Basen ist. Wir w¨ahlen ein und dieselbe Basis f¨ur Bild- und Urbildraum. Weil PU(u) =u f¨ur alle u∈U ist, kann man die Basis ˜B ={b1, b2} mit b1 = (1,0,1,0), b2 = (1,0,0,1) des Untervektorraums U zu einer Basis des R4 erg¨anzen. F¨ur b1, b2 gilt dann n¨amlich schonmal
PU(b1) =b1 = 1·b1+ 0·b2+ 0·b3+ 0·b4, PU(b2) =b2 = 0·b1+ 1·b2+ 0·b3+ 0·b4.
Unabh¨angig von der Wahl vonb3,b4 passen also die ersen beiden Spalten vonA. Weil die letzten beiden Spalten der Darstellungsmatrix Nullspalten sind, m¨ussen der dritte und vierte Basisvektor von PU auf die Null abgebildet werden. Nach Satz3.17(i) m¨ussen diese also in U⊥ liegen (und linear unabh¨angig sein). Man w¨ahlt zum Beispielb3= (0,1,0,0) und b4 = (1,0,−1,−1). Damit ist
PU(b3) =0= 0·b1+ 0·b2+ 0·b3+ 0·b4, PU(b4) =0= 0·b1+ 0·b2+ 0·b3+ 0·b4, d.h. die dritte und vierte Spalte passen ebenfalls.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 7, ohne Gew¨ahr, Seite 3 von 3
S 7.8. Gegeben sind die folgenden Matrizen, A=
2 5 −3 0 −1 6
, B=
3 1 4 −2 0 6
, C= 1 3 2
, D=
−1 2 1
, E=
1 −1
−2 2
.
Sind die folgenden Ausdr¨ucke wohldefiniert? Berechnen Sie in diesem Fall die Ergebnisse.
a) A+B ist nicht definiert, b) A+ 1 ist nicht definiert,
c) 3A+ 4B> =
6 15 −9 0 −3 18
+
12 16 0 4 −8 24
=
18 31 −9 4 −11 42
, d) 12C−D> = 1/2 3/2 1
− −1 2 1
= 3/2 −1/2 0 , e) A·C ist nicht definiert,
f) A·C>=
2 5 −3 0 −1 6
·
1 3 2
= 11
9
, g) B·(C+D) ist nicht definiert,
h) (A·B)2= (A·B)·(A·B) =
26 −26
−4 38
·
26 −26
−4 38
=
780 −1664
−256 1548
,
i) (E−1)> ist nicht definiert, da E nicht regul¨ar ist (die zweite Spalte ist das negative der ersten Spalte).
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
