Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 3, ohne Gew¨ahr, Seite 1 von 2
S 3.5. L¨osen Sie die folgenden Differentialgleichungen,
a) 2t3+ 3y(t) + (3t+y(t)−1)y0(t) = 0, Diese Differentialgleichung ist exakt. Man berechnet ein Potentialϕ(t, x) des Vektorfelds N(t, x) = (2t3+ 3x ,3t+x−1): Wegen ϕt(t, x) = 2t3+ 3x ist
ϕ(t, x) = Z
2t3+ 3x dt+C(x) = 1
2t4+ 3tx+C(x), und wegen 3t+x−1 =ϕx(t, x) = 3t+C0(x) folgt
C(x) = Z
x−1dx= 1 2x2−x und
ϕ(t, x) = 1
2t4+ 3tx+ 1
2x2−x.
Die allgemeine L¨osung der Differetialgleichung ist also durch die Gleichungϕ(t, y(t)) =cgegeben, d.h. durch
1
2t4+ (3t−1)y(t) +1
2(y(t))2 =c.
Mit derp-q-Formel kann man diese nach y(t) aufl¨osen, y(t) = 3t−1±p
(3t−1)2−t4+c.
b) 1−tcot(y(t))y0(t) = 0, Man setztP(t, x) = 1,Q(t, x) =−tcot(x) und stellt fest, dassPx(t, x) = 06=−cot(x) =Qt(t, x), d.h., diese Differentialgleichung ist nicht exakt. Man untersucht, ob ein integrierender Faktor ˜µ(t) = µ(t, x) existiert, der nur von t abh¨angt. Dieser m¨usste durch die Differentialgleichung
˜
µ0(t) = Px(t, x)−Qt(t, x) Q(t, x) µ(t)˜ gegeben sein, wobei der Faktor
˜ µ0(t)
˜
µ(t) = Px(t, x)−Qt(t, x)
Q(t, x) = cot(x)
−tcot(x) =−1 t
nur von t abh¨angen darf. Das ist der Fall, man bestimmt also ˜µ, z.B. durch Trennung der Variablen, und erh¨alt den integrierenden Faktor µ(t, x) = ˜µ(t) = 1t. Multiplikation der Differen- tialgleichung mit diesem Faktor liefert die exakte Differentialgleichung
1
t −cot(y(t))y0(t) = 0.
Man berechnet ein Potentialϕ(t, x) des VektorfeldsµN(t, x) = (1t,−cot(x)): Wegenϕt(t, x) = 1t ist
ϕ(t, x) = Z 1
tdt+C(x) = ln(t) +C(x), und wegen−cot(x) =ϕx(t, x) =C0(x) folgt
C(x) = Z
−cot(x)dx=−ln(sin(x))
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
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Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 3, ohne Gew¨ahr, Seite 2 von 2
und
ϕ(t, x) = ln(t)−ln(sin(x)) = ln(t/sin(x)).
Die allgemeine L¨osung der Differetialgleichung ist also durch die Gleichungϕ(t, y(t)) =cgegeben, d.h. durch
ln(t/sin(y(t)) =c.
Also ist
y(t) = arcsin(e−ct).
S 3.6.Untersuchen Sie jeweils, ob Zahlenλ1, λ2 (undλ3) existieren, so dass die folgenden Gleichun- gen f¨ur alle x∈Rgelten. Untersuchen Sie auch, ob diese Zahlen eindeutig bestimmt sind.
a) λ1(1 +x+x2) +λ2x= 0. Die Gleichung ist f¨urλ1 =λ2 = 0 erf¨ullt. Die Zahlen λ1 und λ2 sind durch die Gleichung eindeutig bestimmt: Setzt man x = 0, so bekommt man die Gleichung λ1 = 0, f¨ur x = 1 folgt λ2 = 0. Alternativ kann man λ1 und λ2 durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
b) λ1(1 +x+x2) +λ2x+λ3x2 = 1. Die Gleichung ist f¨ur λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −1 erf¨ullt. Die Zahlenλ1,λ2undλ3 sind durch die Gleichung eindeutig bestimmt: Setzt manx= 0, so bekommt man die Gleichung λ1 = 1, und somit muss 1 +x+x2+λ2x+λ3x2 = 1 gelten. f¨urx= 1 folgt 3 +λ2+λ3 = 1, d.h. λ2 = −2−λ3. F¨ur x = −1 folgt 1 = 1−λ2+λ3 = 1 + 2 +λ3+λ3 = 3 + 2λ3, d.h. λ3 = −1 und somit λ2 = −1. Alternativ kann man λ1, λ2 und λ3 wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
c) λ1sin(x) +λ2cos(x) =ex. Diese Gleichung ist nicht l¨osbar, denn das Einsetzen verschiedener Werte f¨ur x liefert einen Widerspruch: F¨ur x = 0 bekommt man z.B. λ2 = e0 = 1, setzt man jedochx=π ein, so m¨usste−λ2=eπ gelten.
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