Institut f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler

Institut f¨ ur Mathematik

Stochastik I

L¨ osungsans¨ atze zur 9. Zusatz¨ ubung

1) (Spezialfall des Satzes von Radon-Nikodym)

Es sei (Ω, A , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine integrierbare Zufallsgr¨oße ¨ uber (Ω, A , P ) und H eine endliche Teil-σ-Algebra von A . Man zeige:

a) Es gibt ein n ≥ 1 und eine Zerlegung (H 1 , H 2 , . . . , H n ) von Ω in A -meßbare Teilmengen, so dass

H =

[

i ∈ I

H i |I ⊆ {1, 2, . . . , n}

(I durchl¨auft alle Teilmengen von {1, . . . , n}.)

b) Man zeige: Es gibt eine H -meßbare Zufallsgr¨oße Y auf (Ω, A , P ) mit Z

H

Y dP = Z

H

XdP, H ∈ H ,

und konstruiere Y .

c) Die Zufallsgr¨oße Y nennt man bedingte Erwartung von X unter der Hypthese H . K¨onnen Sie diese Bezeichnung begr¨ unden? (Bezeichung: Y = E(X | H )) Was ergibt sich f¨ ur H = {∅, Ω}?

L¨ osung: a) Sei H = {A 1 , . . . , A m }. Wir zeigen, dass es unter den A j , j = 1, . . . , m eine Menge von nichtleeren, disjunkten Atomen H i , i = 1, . . . , n, gibt, die ebenfalls H erzeugen. (Ein Element H von H heißt Atom, falls aus H ⁰ ∈ H , H ⁰ ⊆ H, H ⁰ 6= H folgt H ⁰ = ∅.) Dabei gehen wir induktiv vor. Ausgehend von H _m = H \ {∅} ver- kleinern wir Mengensysteme H _k = {A i 1 , . . . , A i k } sukzessive unter Beibehaltung der Eigenschaft, dass H _k alle nichtleeren Durchschnittsmengen ihrer Mengen enth¨alt und H erzeugt.

b) Die H -mesbaren Zufallsgr¨oßen sind gerade einfache Zufallsgr¨oßen der Form Y = P n

i=1 α i H i mit Koeffizienten α i ∈ R 1 , i = 1, . . . , n.

Verwendet man diesen Ansatz in R

H i

XdP = R

H i

Y dP = R

H i

α i dP = α i P (H i ), so folgt α i = _P(H ¹ _{i )} R

H i

XdP und Y = P ⁿ

i=1 1 P(H i )

R

H i

XdP · H i erf¨ ullt das Geforderte.

c) F¨ ur H = {∅, Ω} ergibt sich I = {1}, H 1 = Ω und Y = _P(Ω) ¹ R

Ω

XdP · Ω = EX .

Y spiegelt die in H uber ¨ X zur Verf¨ ugung stehende Information wieder. Es gilt α i = 1

P (H i ) Z

H i

XdP = Z

Ω

XdP (ω|H i ) = E(X |H i ) i = 1, . . . , n .

2) Zwei Zufallsgr¨oßen X und Y m¨ogen folgende Eigenschaften besitzen:

a) X und Y sind unabh¨angig und haben differenzierbare Dichten f X (x) und f Y (y).

b) Die gemeinsame Dichte f (x, y) = f X (x)f Y (y) h¨angt von (x, y) nur durch x ² + y ² ab:

f (x, y) = g(x ² + y ² ) f¨ ur eine Funktion g (∗) zeigen Sie, dass dann X und Y beide normalverteilt mit Erwartungswert Null und einer gleichen Streuung σ ² sind.

Hinweis: Differenzieren Sie (∗) nach x und berechnen Sie _2xf ^{f X 0} _X ^(s) _(x) . Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck nicht von x abh¨angt und l¨osen Sie die daraus entstehende Differen- zialgleichung. Nutzen Sie die Eigenschaft, dass f X eine Dichte ist, um Konstanten zu bestimmen. Analog verfahren Sie mit f Y .

L¨ osung: Wir betrachten die Funktion g auf g 6= 0. Dort gilt auch f X 6= 0, f Y 6= 0.

f X (x)f Y (y) = g(x ² + y ² ) | ln ln f X (x) + ln f Y (y) = ln g(x ² + y ² ) | d dx f _X ⁰ (x)

f X (x) = 2x · g ⁰ (x ² + y ² ) g(x ² + y ² )

Wir w¨ahlen x 0 6= 0 und setzen g 0 (y) = g(x ² ₀ + y ² ) , β = _2x ^f ₀ ^{X 0} _{f X} ^(x _(x ^{0 )} _{0 )} . Es folgt g ₀ ⁰ (y) = βg 0 (y ) mit der L¨osung g 0 (y) = αe ^βy , also g(x ² ₀ + y ² ) = αe ^{β(x 2 0 +y 2 )} , also

f (x, y) = αe ^{β(x 2 +y 2 )} .

Aus der Tatsache, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte, und damit integrierbar mit Integral 1 ist, folgt zun¨achst, dass β < 0. Wir setzen β = − _2σ ^{1 2} f¨ ur ein σ ² > 0. Weiter folgt α = _2πσ ^{1 2} . Zusammengefasst

f X (x)f Y (y) = 1

2πσ ² exp(− 1

2σ ² (x ² + y ² )) .

F¨ ur x = 0 folgt f X (0)f Y (y) = _2πσ ^{1 2} exp(− _2σ ¹ 2 (y ² )) , und wiederum aus der Tatsache, dass f Y eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, folgt f X (0) = ^√ _2πσ ¹ und Y ∼ N(0, σ ² ).

Analog ergibt sich X ∼ N (0, σ ² ).