1. Zeigen Sie, dass f¨ ur x ∈] − 1, 1[ gilt

Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis

Ubungsblatt 11 ¨

Abgabetermin Mittwoch, den 30.01.2019 vor der Vorlesung.

1. Zeigen Sie, dass f¨ ur x ∈] − 1, 1[ gilt

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁻¹ n x ⁿ

! ⁰

= 1

1 + x

∞

X

n=0

n ² x ⁿ = x · (1 + x) (1 − x) ³ Hinweis zur zweiten Formel: Ableiten der geometrischen Reihe.

2. Die Beschleunigung x ⁰⁰ (t) des Fahrzeugs

zum Zeitpunkt t setzt sich aus zwei Beitr¨ agen zusammen: Die Beschleunigung durch die Feder ist proportional zur Auslenkung x(t). Die Reibung liefert einen Beitrag proportional zur Geschwindigkeit x ⁰ (t).

In unserem Beispiel seien die Beitr¨ age −4 · x(t) und −2 · x ⁰ (t). Somit soll die Position x(t) des Fahrzeugs die folgende Differentialgleichung erf¨ ullen:

x ⁰⁰ (t) = −4 · x(t) − 2 · x ⁰ (t)

(a) Zeigen Sie, dass jede der folgenden Funktionen diese Differentialgleichung l¨ ost:

x ₁ (t) = exp(−t) · sin( √

3t) x ₂ (t) = exp(−t) · cos( √ 3t) und x(t) = c ₁ · x ₁ (t) + c ₂ · x ₂ (t) wobei c ₁ , c ₂ ∈ R .

(b) Zum Zeitpunkt t = 0 ziehen wir den Wagen auf die Position x(0) = 1 und geben ihm einen Schubs mit der Geschwindigkeit x ⁰ (0) = 1. Bestimmen Sie die Position x(t) als Funktion der Zeit t ≥ 0.

(c) Erstellen Sie einen Plot der L¨ osung x(t).

3. Sei a ₀ = 0 und

a _n+1 = 2a _n + 1

f¨ ur n ≥ 1. Zeigen Sie, dass f¨ ur die Potenzreihe P (x) = P ∞

n=0 a _n x ⁿ gilt:

(a) Der Konvergenzradius ist r(P ) = ¹ ₂ . (b) F¨ ur |x| < ¹ ₂ gilt

P (x) = x

(1 − 2x) · (1 − x)

4. Das Newtonverfahren berechnet f¨ ur eine Funktion f : R → R und einen Startwert x ₁ ∈ R die Folge

x _n+1 = x _n − f(x _n ) f ⁰ (x _n ) d.h. x _n+1 ist die Nullstelle der Tangente von f in x _n .

(a) Zeigen Sie, dass f¨ ur f(x) = x ² − 2 und x ₁ = 1 die Folge (x _n ) konvergiert und lim n→∞ x _n = √

2.

(b) Bestimmen Sie die ersten 5 Folgeglieder bis auf 10 Fließkommastellen.

5. (4 Zusatzpunkte) Zeigen Sie, dass f : R → R f(x) =

exp(− _x ¹

) f¨ ur x 6= 0

0 f¨ ur x = 0

unendlich oft differenzierbar ist mit

f ^(k) (0) = 0 f¨ ur alle k ∈ N ⁰ .

–1 0 1

–2 –1 1 2

2