1. (15 %) Zeigen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion, dass f¨ ur alle n > 1 gilt:

Prof. Carsten Lutz, Dr. Thomas Schneider WS 2011/12

Theoretische Informatik 1 Gewertete Aufgaben, Blatt 2

Abgabe ins Fach Ihrer/s Tutor(in) bis 14. 11. 11, 12:00 Besprechung: KW 46

1. (15 %) Zeigen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion, dass f¨ ur alle n > 1 gilt:

n

X

i=1

(2i − 1)

= n(4n

− 1) 3

2. (2 · 5 % + 10 % = 20 %) Seien L

, L

, L b

, L b

⊆ Σ

formale Sprachen und gelte L

⊆ L b

und L

⊆ L b

. Zeigen Sie:

a) L

∩ L

⊆ L b

∩ L b

b) L

· L

⊆ L b

· L b

c) L

⊆ L b

3. (3 · 10 % + 5 % = 35 %) Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptun- gen.

a) F¨ ur alle formalen Sprachen L

, L

gilt L

· L

⊆ (L

∪ L

)

. b) F¨ ur alle formalen Sprachen L gilt L

· L

= L

.

c) F¨ ur alle formalen Sprachen L

, L

gilt (L

∪ L

)

= L

∪ L

. d) ∅

= {ε}

4. (2 · 7 % = 14 %) Geben Sie die von den folgenden DEA erkannten Spra- chen an.

a) q

q

c c

a, b a, b

b) q

q

q

q

a

b

a

b

a, b

b a

5. (2 · 8 % = 16 %) Geben Sie f¨ ur folgende formale Sprachen L

einen DEA an, der L

erkennt:

a) L

= {w ∈ {a, b}

| jedem a in w gehen unmittelbar mindestens zwei b’s voraus}

b) L

= {w ∈ {a, b}

| w enth¨ alt mindestens zwei a’s und h¨ ochstens ein b}