Formulieren Sie das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion und beweisen Sie damit die folgende Aussage: F¨ ur alle n ∈ N , n ≥ 1, gilt

Dr. Erwin Sch¨ orner

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):

Differential– und Integralrechnung 1

1.1 (Fr¨ uhjahr 2002, Thema 3, Aufgabe 2)

Formulieren Sie das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion und beweisen Sie damit die folgende Aussage: F¨ ur alle n ∈ N , n ≥ 1, gilt

n

X

k=1

(−1) ^k+1 k ² = (−1) ⁿ⁺¹ n(n + 1)

2 .

1.2 (Herbst 2005, Thema 3, Aufgabe 1)

Beweisen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion die Gleichheit f¨ ur alle n ∈ N , n ≥ 2

n

Y

k=2

1 − 2

k(k + 1)

= 1 3

1 + 2

n

.

1.3 (Fr¨ uhjahr 1999, Thema 1, Aufgabe 1) Sei a _k :=

√ k − 3

√ k + 1 f¨ ur k = 1, 2, . . . . Zeigen Sie, dass die Folge a ₁ , a ₂ , . . . konvergiert und berechnen Sie ein n ∗ , so dass f¨ ur n ≥ n ∗ gilt:

a _n − lim

k→∞ a _k

≤ 0,01.

1.4 (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe 1) Gegeben sei die durch

a _n = (sin(n)) ³ − 3 cos(n)

√ n , n ≥ 1

definierte Folge (a _n ) n≥1 , und eine reelle Zahl ε > 0. Bestimmen Sie eine reelle Zahl a und eine nat¨ urliche Zahl N = N (ε), so dass

|a _n − a| < ε f¨ ur alle n ≥ N

gilt.

Beweisen Sie, dass die Folge (a _n ) n≥1 mit

a n = (2n ² + 1)(n + 1) ⁿ (3n + 1) n ⁿ⁺¹

konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.

1.6 (Herbst 2006, Thema 1, Teilaufgabe 1a) Gegeben seien die Folgen (a _n ) n∈ N mit

(i) a _n = 1 + 2 + . . . + n

n ² , (ii) a _n =

n

X

k=0

(−2) ^k

7 ^k , (iii) a _n = 1 − cos _n ¹

1 n

Zeigen Sie, dass diese Folgen konvergieren und berechnen Sie ihre Grenzwerte.

1.7 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 3, Aufgabe 2) Es sei (f _n ) n∈ N die durch f ₁ = f ₂ = 1 und

f _n+1 = f _n + f _n−1 f¨ ur alle n ≥ 2 rekursiv definierte Fibonacci–Folge.

a) Beweisen Sie f¨ ur alle n ∈ N :

f _n ≥ 4 9

3 2

n

.

b) Zeigen Sie, dass die durch

a _n =

n

Y

k=1

f _k f _k+1 f¨ ur n ∈ N definierte Folge gegen 0 konvergiert.

c) Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

k=1

1 f _k konvergiert.

1.8 (Herbst 2009, Thema 3, Teilaufgabe 1a)

Untersuchen Sie f¨ ur x ∈ R \ {−1} die durch a _n := ^1−x _1+x

gegebene Folge (a _n ) _{n∈ N} auf Konvergenz und ermitteln Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

1.9 (Herbst 2009, Thema 3, Teilaufgabe 1c)

Untersuchen Sie die durch x ₁ := 1 und x _n+1 = ¹ ₃ (x ³ _n + 1) rekursiv definierte Folge

(x n ) n∈ N auf Konvergenz.

1.10 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 3, Aufgabe 1) Die Folge (a _n ) _n∈

N ist rekursiv definiert durch a ₀ = 1 und a _n+1 = √

1 + a _n f¨ ur alle n ∈ N . Zeigen Sie:

a) a n ≤ a n+1 ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N , b) (a _n ) _n∈

N konvergiert, c) lim

n→∞ a _n = ¹ ₂ 1 + √ 5

.

1.11 (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 1) Gegeben sei die Folge (a n ) n∈ N mit

a ₁ = 1, a _n+1 = √

12 + a _n , n ≥ 1.

a) Zeigen Sie, dass (a _n ) monoton wachsend und beschr¨ ankt ist.

b) Bestimmen Sie den Grenzwert von (a _n ).

1.12 (Herbst 2007, Thema 2, Aufgabe 1) Gegeben sei die durch

a ₁ = 5 und a _n+1 = 3 + 2

7 − a _n f¨ ur alle n ∈ N rekursiv definierte Folge (a _n ) n∈ N .

a) Man zeige 3 ≤ a _n ≤ 5 f¨ ur alle n ∈ N .

b) Man beweise, dass die Folge (a _n ) n∈ N konvergiert.

c) Man bestimme den Grenzwert der Folge (a _n ) n∈ N . 1.13 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 1)

Gegeben sei die durch a ₁ = 7

2 und a _n+1 = 5 − √

11 − 2 a _n f¨ ur alle n ∈ N rekursiv definierte Folge (a _n ) _{n∈ N} .

a) Man zeige 1 ≤ a n ≤ 5 f¨ ur alle n ∈ N .

b) Man beweise, dass die Folge (a _n ) n∈ N konvergiert.

c) Man bestimme den Grenzwert der Folge (a _n ) n∈ N . 1.14 (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 2)

Man zeige, dass die durch

x ₁ := 1, x _n+1 := x _n − x ³ _n 10 + x ⁵ _n

100 , n ≥ 1,

definierte Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

Die Folge (x _n ) _n∈

N sei rekursiv definiert durch

x _n+1 = e ^x

⁻¹ , x ₁ = 0.

a) Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend und durch 1 nach oben be- schr¨ ankt ist.

b) Zeigen Sie, dass die Folge gegen 1 konvergiert.

1.16 (Fr¨ uhjahr 2008, Thema 2, Aufgabe 1)

Die Folge (a _n ) n∈ N sei rekursiv definiert durch

a ₀ := 3, a _n+1 := a ² _n + 4 2 a _n . a) Zeigen Sie: a _n ≥ 2 f¨ ur alle n.

b) Zeigen Sie: Die Folge a _n f¨ allt monoton.

c) Berechnen Sie den Grenzwert a der Folge a _n . 1.17 (Fr¨ uhjahr 2005, Thema 1, Aufgabe 1)

Gegeben sei die durch

a ₁ = 1, a _n+1 = 1 + a ² _n

2 + a _n , n ≥ 1 definierte Folge.

a) Zeigen Sie, daß a _n > ¹ ₂ f¨ ur alle n ≥ 1 gilt.

b) Untersuchen Sie die Folge (a _n ) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebe- nenfalls den Grenzwert.

1.18 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 3, Aufgabe 1) Die Folge (a _n ) _n≥0 sei definiert durch

a _n+1 = 1

4 a ² _n + 3

4 , mit a ₀ ∈ [1, 3] .

a) Beweisen Sie, dass die Folge (a _n ) _n≥0 f¨ ur alle a ₀ ∈ [1, 3] monoton fallend ist.

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a _n ) _n≥0 in Abh¨ angigkeit von a ₀ , falls der Grenzwert existiert.

1.19 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 2, Aufgabe 2)

Man zeige, dass f¨ ur jeden Startwert x ₀ ∈ [0; 3] die durch die Rekursion x _n+1 = 1

5 x ² _n + 6

(n ∈ N ⁰ := N ∪ {0})

definierte Folge konvergiert und bestimme jeweils den Grenzwert.

1.20 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 2, Aufgabe 1)

F¨ ur einen beliebigen Startwert a ₀ ∈ R betrachte man die durch a _n+1 = a ² _n − a _n + 1 f¨ ur alle n ∈ N 0

rekursiv definierte Folge (a _n ) n∈ N

. Man zeige:

a) F¨ ur alle Startwerte a ₀ ∈ R ist die Folge (a _n ) n∈ N

monoton wachsend.

b) F¨ ur alle Startwerte a ₀ ∈ [0, 1] konvergiert die Folge (a _n ) n∈ N

gegen den Grenzwert 1.

c) F¨ ur alle Startwerte a ₀ ∈ / [0, 1] ist die Folge (a _n ) _{n∈ N}

bestimmt divergent gegen +∞.

1.21 (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 1)

Die reelle Zahlenfolge (x k ) k∈ N sei rekursiv definiert durch x 1 ≥ 1, x k+1 = f (x k ) f¨ ur alle k ∈ N , wobei f(x) := ¹ ₅ 4 x + _x ¹

f¨ ur x > 0. Zeigen Sie:

a) f(x) ≥ 1 f¨ ur alle x > 0.

b) x _k+1 − x _k ≤ 0 f¨ ur alle k ∈ N .

c) (x _k ) k∈ N konvergiert. Bestimmen Sie auch den Grenzwert x = lim

k→∞ x _k . 1.22 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 2, Aufgabe 3)

Sei f (x) = x ^x f¨ ur x > 0 definiert.

a) Zeigen Sie f¨ ur alle

x ∈ ₁

e , 1 die Ungleichung

0 < f ⁰ (x) < 1, 0 < f (x) < 1.

b) Die Folge (x _n ) n∈ N sei rekursiv durch x ₀ ∈ ₁

e , 1

, x _n+1 = f(x _n ) gegeben. Zeigen Sie

x _n < x _n+1 < 1 f¨ ur alle n ∈ N .

c) Zeigen Sie, dass die in b) definierte Folge gegen 1 konvergiert.

1.23 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 3, Aufgabe 1) a) Zeigen Sie

sin(x) < x f¨ ur alle x > 0.

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der rekursiv gegebenen Folge x _n+1 = sin(x _n )

mit beliebigem Startpunkt x ₀ ∈ R .

F¨ ur n = 1, 2, . . . sei

a n := 1

n + 1

n + 1 + . . . + 1 2n . a) Untersuchen Sie, ob die Folge (a _n ) _n≥1 beschr¨ ankt ist.

b) Untersuchen Sie, ob die Folge (a _n ) n≥1 konvergent ist.

1.25 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 1, Aufgabe 2) Gegeben sei die durch

x ₁ := 1, x _n+1 := 1 + 1 x n

, n ≥ 1 definierte Folge.

a) Man zeige, dass die Teilfolgen (x _2n+1 ) bzw. (x _2n ) monoton wachsend bzw.

monoton fallend sind.

b) Man zeige die Konvergenz der Folge (x _n ) und bestimme ihren Grenzwert.

1.26 (Herbst 2005, Thema 2, Aufgabe 4)

Sei a eine reelle Zahl, und sei (a _n ) n≥1 eine Folge reeller Zahlen. Es sei

n→∞ lim a ² _n = a ² .

Beweisen Sie: Ist c Grenzwert einer konvergenten Teilfolge der Folge (a _n ) n≥1 , so ist c = a oder c = −a.

1.27 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 3, Aufgabe 3)

a) Sei (a _n ) _{n∈ N} eine reelle Folge, die gegen a konvergiere. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge der

b _n = 1 n

n

X

k=1

a _k gegen a konvergiert.

b) Geben Sie ein Beispiel daf¨ ur an, dass die Folge (b n ) n∈ N konvergiert, die Folge (a _n ) n∈ N aber nicht.

1.28 (Fr¨ uhjahr 2012, Thema 1, Aufgabe 1)

a) Sei (a _n ) n∈ N eine gegen a konvergente Folge in R . Zeigen Sie, dass dann auch die Folge (b _n ) n∈ N mit

b _n := 1

2 (a _n + a _n+1 ) f¨ ur alle n ∈ N gegen a konvergiert.

b) Finden Sie eine Folge (a _n ) n∈ N , die nicht konvergiert, so dass die zugeh¨ orige Folge (b n ) n∈ N konvergiert.

c) Sei vorausgesetzt, dass (a _n ) n∈ N monoton w¨ achst und dass (b _n ) n∈ N konver-

giert. Zeigen Sie, dass dann auch (a _n ) n∈ N konvergiert.