Beweisen Sie, dass f¨ur alle n∈N gilt: 11 45n−35n

(1)

1. ¨Ubungsblatt f¨ur den 15. 3. 2012 1. Es seien a, b∈Z. Beweisen Sie:

a) a|b ⇐⇒ T(a)⊂T(b)

b) F¨ur jedes k ∈Z gilt: T(a)∩T(b+ka) =T(a)∩T(b) c) F¨ur jedes k ∈Z gilt: ggT(a, b) = ggT(a, b+ka).

2. Beweisen Sie, dass f¨ur alle n∈N gilt:

11

4⁵ⁿ−3⁵ⁿ .

Tipp: Sie können einen direkten Beweis oder einen Beweis mittels vollständiger Induktion führen.

Zusatz: Ist die obige Zahlenfolge auch durch andere Faktoren außer 11 teilbar?

3. Ist die folgende Behauptung richtig:

Sind a, b, c∈Z mit ggT(a, b, c) = 1, so gilt ggT(a, b) = 1 oder ggT(a, c) = 1 oder ggT(b, c) = 1.

F¨uhren Sie einen Beweis oder geben Sie ein Gegenbeispiel an!

4. Verwenden Sie die Algorithmen von Euklid und Berlekamp, um a) ggT(11026,6179) zu berechnen und

b) diesen als (ganzzahlige) Linearkombination der beiden Zahlen darzustellen.

5. Beweisen Sie: sind a, b∈ Z mit b 6= 0, so gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q, r ∈ Z mit a=bq+r und −^|b|₂ < r≤ ^|b|₂.

6. Formulieren Sie mit Hilfe von Beispiel 5. eine Variante des Euklidschen Algorithmus, für welche gilt: Sinda, b, k ∈Nmit b ≤a und 2^k−1 ≤b <2^k, so lässt sich ggT(a, b) in höchstens k Schritten berechnen.

L¨osen Sie mit dieser Variante nochmals Beispiel 4. Wie viele Schritte ben¨otigen Sie dabei?

(2)

7. Beweisen Sie Satz 6 a) der Vorlesung:

Jedes r ∈Qhat eine eindeutige Darstellung r= p

q mit p∈Z, q∈N und ggT(p, q) = 1.

8. Es seien m, n∈N mit ggT(m, n) = 1. Beweisen Sie, dass dann folgendes gilt:

a) Die Abbildung

ϕ:T(m)×T(n)→T(mn) (s, t)7→st ist bijektiv.

b) σ(m)σ(n) =σ(mn).

9. Welche x ∈ Q k¨onnten (nach Satz 6 b) der Vorlesung) L¨osungen der folgenden Gleichung sein:

9x⁶−19x⁴−70x²+ 8 = 0 Welche davon sind tats¨achlich L¨osungen?

10. Beweisen Sie Lemma 3 der Vorlesung:

Ist n∈N eine zusammengesetzte Zahl, so gibt es eine Primzahlp∈Pmit p|n und p≤√ n.

11. Beweisen Sie den folgenden Spezialfall des Satzes von Dirichlet (ohne diesen in der Vorlesung nicht bewiesenen Satz zu verwenden):

Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4n+ 3, wobei n ∈N0 ist.

Hinweis: Verfeinern Sie die Idee des Beweises des Satzes von Euklid aus der Vorlesung.

1

(3)

3. Übungsblatt für den 29. 3. 2012 12. Auf Z werde die Verknüpfung wie folgt definiert: füra, b∈Z sei

ab =

(ggT(a, b) f¨ur (a, b)6= (0,0) 0 f¨ur a=b = 0 .

Ist kommutativ bzw. assoziativ? Besitzt ein neutrales Element - und falls ja - welche Elemente sind invertierbar?

Zeigen Sie, dass N0 abgeschlossen bezüglich ist, und beantworten Sie obige Fragen auch für das Verknüpfungsgebilde (N0,).

13. F¨ur (a₁, a₂, a₃)^tr,(b₁, b₂, b₃)^tr ∈R³ ist das Vektor- oder Kreuzprodukt definiert durch



 a₁ a₂ a₃



×



 b₁ b₂ b₃



=





a₂b₃−b₂a₃

−a₁b₃+b₁a₃ a₁b₂−b₁a₂



 .

Untersuchen Sie das Verkn¨upfungsgebilde (R³,×) auf alle Eigenschaften aus Definition 1 der Vorlesung!

14. Auf der Menge M = {a, b, c} ist die Verkn¨upfung • durch folgende Verkn¨upfungstafel gegeben:

• a b c a a a a b b b b c c c c

Untersuchen Sie, ob • assoziativ bzw. kommutativ ist, und ob dieses Verkn¨upfungsgebilde rechtsneutrale oder linksneutrale Elemente besitzt!

15. Es sei (M,∗) ein assoziatives Verkn¨upfungsgebilde, unde∈M sei ein linksneutrales Element.

Beweisen Sie bzw. widerlegen Sie (mit einem Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen:

a) Wenn zu jedemx∈M ein y∈M existiert mit x∗y=e, so iste rechtsneutral.

b) Wenn zu jedemx∈M ein y∈M existiert mit y∗x=e, so ist e rechtsneutral.

c) Wenn∀x, y, z ∈M gilt: (x∗z =y∗z ⇒x=y), dann ist e rechtsneutral.

d) Wenn ∀x, y, z∈M gilt: (z∗x=z∗y ⇒x=y), dann ist e rechtsneutral.

16. Es sei (M,◦) ein Verknüpfungsgebilde. Für ein fest gewähltes Element e ∈M werde auf M die Operation ∗ definiert durch: a∗b = (a◦e)◦b.

a) Zeigen Sie: ist ◦ assoziativ, so ist auch ∗assoziativ.

b) Zeigen Sie: ist ◦ assoziativ und kommutativ, so ist auch ∗ kommutativ.

c) Ist (M,◦) eine Halbgruppe und ist e bez¨uglich ◦ invertierbar, so besitzt∗ ein neutrales Element. Welche Elemente von M sind dann invertierbar bez¨uglich ∗?

(4)

17. Auf der Menge Qwird eine Relation ./folgendermaßen definiert:

f¨ur rationale Zahlenr, s∈Qgelter ./ sgenau dann, wenn in der reduzierten Bruchdarstellung

m

n = r−s von r−s gilt: 7 - n. Zeigen Sie, dass ./ eine ¨Aquivalenzrelation auf Q ist, und geben Sie die ¨Aquivalenzklasse von 0 an!

18. Es seien (G,·) eine Gruppe und (H,·) eine Unterstruktur, die wieder eine Gruppe ist [vgl.

Definition 2.a) der Vorlesung].

Zeigen Sie, dass das neutrale Element e_H von (H,·) mit dem neutralen Elemente_G von (G,·)

¨

ubereinstimmt, und dass jedes a∈H in (H,·) und (G,·) dasselbe Inverse besitzt.

19. Es seien (G,·) eine Gruppe undM, N ⊂GTeilmengen. Beweisen Sie, dasshMi=hNigenau dann gilt, wenn M ⊂ hNi und N ⊂ hMi erf¨ullt sind.

20. Es seien (G,·) eine Gruppe und ∅ 6=M ⊂G eine nicht leere Teilmenge. Zeigen Sie, dass hMi={g₁ê¹g₂ê². . . gê_k^k |k∈N, gi ∈M, ei ∈Z} .

21. AufQsei die Relation./so wie in Beispiel17 definiert. Zeigen Sie, dass die ¨Aquivalenzklasse von 0 eine Untergruppe von (Q,+) und eine Unterstruktur von (Q,·) ist.

Zusatz f¨ur Spezialist(inn)en:

Zeigen Sie, dass die ¨Aquivalenzklasse von 0 bez¨uglich + keine endlich erzeugte Gruppe ist.

22. Uberlegen Sie sich, dass (GL¨ 3(R),·) (mit der Matrizenmultiplikation) eine Gruppe ist und dass die Matrizen A=_{0 0}₋₁

0 1 0 1 0 0

und B = _{0 0 1}

0 1 0

−1 0−1

Elemente dieser Gruppe sind.

Bestimmen Sie m¨oglichst kleine n_i ∈N, f¨ur welche Aⁿ¹ bzw. Bⁿ² bzw. (AB)ⁿ³ das neutrale Element dieser Gruppe ist.

1

(5)

5. ¨Ubungsblatt f¨ur den 3. 5. 2012 23. Es sei C = _{a b}

−b a a, b ∈ R ⊂ M_2,2(R). Zeigen Sie, dass C eine Untergruppe von (M2,2(R),+) ist und dass C\ {(^{0 0}_{0 0})}eine Untergruppe von (GL2(R),·) ist!

24. Geben Sie ein Repräsentantensystem für die Nebenklassen der Gruppe (R,+) nach der Un- tergruppe Zan, und bestimmen Sie die Kardinalität vonR/Z!

25. Es seien U, V R-Untervektorräume des Rⁿ. Überlegen Sie sich, dass U und V dann auch Untergruppen von (Rⁿ,+) sind. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) V ist ein Repr¨asentantensystem f¨ur Rⁿ/U. b) Rⁿ=U ⊕V.

26. Es seienn ∈N,a₁, . . . , a_n∈Z(nicht alle gleich 0) sowie U =ha₁, . . . , a_ni ≤(Z,+). Beweisen Sie, dass f¨urd∈N folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

a) U =hdi

b) d= ggT(a₁, . . . , a_n)

27. Es seien a, b ∈ Z\ {0}. Finden Sie ein c ∈ Z, sodass f¨ur die Untergruppen hai,hbi,hci von (Z,+) gilt: hai ∩ hbi=hci.

(6)

28. Es seien (G,·) eine Gruppe und A, B ≤G Untergruppen von G. Beweisen Sie:

a) A∪B ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn A⊂B oder B ⊂A gilt.

b) AB ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn AB =BA gilt.

(Erinnerung: AB={ab|a∈A und b∈B}.)

29. Es seien (G,·) eine Gruppe, a, b∈G mit ord(a) =m∈N, ord(b) =n ∈N, und d= ggT(m, n). Zeigen Sie: Giltab=ba, so folgt ord(ab)<∞, und genauer:

mn d²

ord(ab) und ord(ab)

mn d .

Was folgt aus diesem Ergebnis insbesondere im Fall ggT(m, n) = 1?

Zeigen Sie mit einem Gegenbeispiel, dass obige Behauptung ohne die Voraussetzung ab=ba falsch ist!

30. Es seien (G,·) eine Gruppe, a, b ∈ G mit ord(a) =n, wobei 3 ≤ n ∈ N, ord(b) = 2, und es gelte ab=ba⁻¹. Zeigen Sie: f¨ur die von {a, b} erzeugte Untergruppe ha, bi ≤Gvon G gilt:

ha, bi={a^k, a^kb|0≤k≤n−1},

diese Untergruppe besteht aus genau 2n Elementen und ist nicht kommutativ.

31. Zeigen Sie, dass f¨ur eine Gruppe (G,·) die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:

a) Gist kommutativ.

b) F¨ur alle x, y ∈G gilt: (xy)⁻¹ =x⁻¹y⁻¹. c) F¨ur alle x, y ∈Ggilt: (xy)² =x²y².

d) Es gibt ein n ∈Z, sodass f¨ur alle x, y ∈Ggilt:

(xy)ⁿ⁻¹ =xⁿ⁻¹yⁿ⁻¹ und (xy)ⁿ =xⁿyⁿ und (xy)ⁿ⁺¹ =xⁿ⁺¹yⁿ⁺¹ .

1

(7)

7. ¨Ubungsblatt f¨ur den 24. 5. 2012 32. Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung:

Satz 5. Es sei (G,·) eine Gruppe undH ≤Geine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen

¨

aquivalent:

a) H / G

b) f¨ur alle a∈G istaH =Ha c) H\G=G/H

d) f¨ur alle a, b∈G ist aH·bH =ab H

e) f¨ur alle a∈G und f¨ur alle h∈H istaha⁻¹ ∈H.

33. Es seien (G,·) und (G⁰,∗) Gruppen. Zeigen Sie:

a) Ist ϕ:G →G⁰ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt f¨ur jedes Torsionselementg ∈G:

ϕ(g) ist ein Torsionselement von G⁰ und ord(ϕ(g))|ord(g).

b) Ist G = hai eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N, so gibt es zu jedem Torsions- element x ∈ G⁰ mit ord(x) | n genau einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G → G⁰ mit ϕ(a) =x.

c) Es seien nun G =hai eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N und G⁰ eine zyklische Gruppe der Ordnungm∈N. Bestimmen Sie die Anzahl aller Gruppenhomomorphismen von G nachG⁰!

34. Es sei (G,·) eine Gruppe und S(G) die Menge aller bijektiven Abbildungen von G nach G, die gemeinsam mit der Hintereinanderausf¨uhrung von Abbildungen ◦eine Gruppe (S(G),◦) ergeben (vgl. Beispiel in der Vorlesung). Aut(G) bezeichne die Menge aller Gruppenisomor- phismen ϕ : G → G und Inn(G) = {κ_a | a ∈ G} die Menge aller Konjugationen von G.

Zeigen Sie:

a) Aut(G) ist eine Untergruppe von (S(G),◦).

b) Inn(G) ist ein Normalteiler von (Aut(G),◦).

c) (f¨ur SpezialistInnen)Ist die GruppeGnicht abelsch, so ist Inn(G)keinNormalteiler von (S(G),◦).

35. Es sei ϕ : (G,·) → (H,∗) ein Gruppenepimorphismus, U = {U ≤ G | ker(ϕ) ⊂ U} und V ={V |V ≤H}. Zeigen Sie, dass

Ψ :U → V U 7→ϕ(U)

eine bijektive Abbildung ist, geben Sie deren Umkehrabbildung Ψ⁻¹ an, und zeigen Sie, dass f¨ur U, U⁰ ∈ U gilt: U ⊂U⁰ ⇐⇒ Ψ(U)⊂Ψ(U⁰).

(8)

36. Fürn∈NbezeichneC_n eine zyklische Gruppe der Ordnungn. Zeigen Sie, dass für natürliche Zahlen m, n∈N folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) ggT(m, n) = 1

(ii) C_m×C_n ist eine zyklische Gruppe (iii) C_m×C_n'C_mn

37. Verwenden Sie Beispiel 36, um zu zeigen, dass jede endliche zyklische Gruppe zu einem Produkt von zyklischen Gruppen, deren Ordnungen Potenzen von paarweise verschiedenen Primzahlen sind, isomorph ist. Bestimmen Sie damit für die Gruppe Cn×Cm die gemäß Struktursatz (Satz 11 der Vorlesung) eindeutig bestimmten Zahlen r, d₁, . . . , d_r ∈N auch für den Fall ggT(m, n)>1.

38. Es sei (G,·) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e ∈ G. Dann definiert man den Exponenten von Gdurch

exp(G) := min{n ∈N|f¨ur alle g ∈G:gⁿ =e} . Beweisen Sie:

a) exp(G) = kgV{ord_G(a)|a∈G}.

b) Ist G abelsch und so wie im Struktursatz (Satz 11 der Vorlesung) dargestellt, so gilt exp(G) =d_r.

c) Ist Gabelsch, so gilt: G ist genau dann zyklisch, wenn exp(G) = ord(G) gilt.

39. Es sei (R,+,·) ein Ring. Zeigen Sie, dass das Zentrum von R, Z(R) ={r ∈R |rx=xr f¨ur allex∈R}ein Teilring von R ist.

40. Es seien K ein K¨orper, n ∈N und M_n(K) die Menge aller n×n-Matrizen ¨uber K.

B = {A = (a_i,j) | ∀i > j : a_i,j = 0} ⊂ M_n(K) sei die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen

¨

uber K.

a) Zeigen Sie, dass B ein Teilring von M_n(K) ist!

b) Bestimmen Sie die Zentren Z(M_n(K)) undZ(B) (vgl. Beispiel 39)!

1

(9)

9. ¨Ubungsblatt f¨ur den 14. 6. 2012

41. Es seien R ein kommutativer Ring und M ={a₁, . . . , a_n} ⊂R eine Teilmenge.

Beweisen Sie, dass

(M) =nXⁿ

i=1

a_ir_i

r_i ∈Ro

gilt!

42. Es seien K ein K¨orper undn ∈N. Zeigen Sie, dassM_n(K) ein einfacher Ring ist!

43. a) Beweisen Sie: zu jedem IdealI /Z existiert genau ein n∈N0, sodass I = (n) gilt!

b) Zeigen Sie, dass f¨ur m, n∈Z gilt:

(m)⊂(n) ⇐⇒ n |m .

44. Es seienX eine nicht leere Menge,R ein (beliebiger) Ring undA= Abb(X, R) der Ring aller Abbildungen vonXnachR, versehen mit den vonRpunktweise übertragenen Verknüpfungen (vgl. Vorlesung §2, Definition 5.b). Für ein x∈R sei I_x ={f ∈A|f(x) = 0_R}.

Zeigen Sie, dass I_x/ A und dass A/I_x'R gilt.

45. Es seien ϕ : R → R⁰ ein Ringepimorphismus und J / R⁰ ein Ideal von R⁰. Geben Sie einen Ringisomorphismus von R/ϕ⁻¹(J) nach R⁰/J an!

(10)

46. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. F¨ur ein beliebiges x ∈R wird die Abbildung ρ_x wie folgt definiert:

ρ_x :R→R r7→rx Beweisen Sie:

a) ρ_x ist ein Gruppenhomomorphismus (bez¨uglich ,,+”).

b) Ist 06=x∈N(R), so gilt ker(ρ_x)⊂N(R) und Bi(ρ_x)⊂N(R).

c) Ist N(R) endlich, so folgt dass R endlich ist oder R ein Integrit¨atsbereich ist.

47. Beweisen Sie, dass jeder endliche Integrit¨atsbereich ein K¨orper ist!

(Hinweis: die Abbildung ρx aus Beispiel 46 k¨onnte hilfreich sein.)

48. Es sei i∈C die komplexe Einheit mit i² =−1 undZ[i] ={a+bi|a, b∈Z}die Menge der ,,Gauß’schen Zahlen”.

a) Uberlegen Sie sich, dass¨ Z[i] ein Teilring von C ist!

b) Die Abbildung ψ :Z[i]→Z/(5) werde definiert durch ψ(a+bi) = a−2b+ (5).

Zeigen Sie, dassψ ein Ringepimorphismus ist und dass ker(ψ) = (2 +i) das von 2+ierzeugte Hauptideal in Z[i] ist.

c) Beweisen Sie, dass (2 +i) ein maximales Ideal von Z[i] ist!

49. Es sei Z[i] so wie in Beispiel 48 gegeben. Bestimmen Sie die Einheitengruppe dieses Ringes!

Hinweis: Das Quadrat des komplexen Absolutbetrags ( |a+bi|² = a² +b² ) ist ein (multi- plikativer) Homomorphismus von Z[i] nach N⁰.

1

(11)

11. ¨Ubungsblatt f¨ur den 28. 6. 2012

50. Es seien n2N,R₁, . . . , R_n(nicht notwendig kommutative) Ringe und R=R₁⇥. . .⇥R_ndas (¨außere) direkte Produkt dieser Ringe.

Beweisen Sie, dass dann gilt: R^⇥ =R^⇥₁ ⇥. . .⇥R^⇥_n

51. Es bezeichne ' die Euler’sche Phi-Funktion. Beweisen Sie:

a) Sind m, n2N mit ggT(m, n) = 1, so gilt

'(mn) ='(m)'(n) . b) Ist n2N und n =

Qr i=1

p^e_iⁱ die Primfaktorisierung von n [vgl. §1, Satz 4. Var.a)], so ist '(n) =

Yr

i=1

p^e_iⁱ ¹(pi 1) = n Yr

i=1

⇣1 1 pi

⌘.

52. a)Zeigen Sie, dass p

22R nicht algebraisch unabh¨angig ¨uber dem TeilringZ von R ist.

b) Zeigen Sie, dass jedesx2Z[p

2] eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form x=a+bp

2 mit a, b2Z besitzt!

c) Zeigen Sie, dass Z[p

2] mit der Abbildung :Z[p

2]!N⁰ a+bp

27!|a² 2b²| ein Euklidischer Ring ist.

53. Es seien R ein Ring und a, b 2 R. Beweisen Sie: ist (a, b) ein Hauptideal in R, so ist auch (a)\(b) ein Hauptideal.

Tipp: Versuchen Sie – ausgehend vom SpezialfallR=Z– entsprechende Ideen f¨ur den Beweis zu finden.

54. a)Zeigen Sie, dass f¨ur jede Primzahl p2Pund jedes k2Nmit 1 kp 1 gilt: p| ^p_k . b) Es sei R ein Ring mit char(R) = p2P. Zeigen Sie, dass dann die Abbildung

f :R !R x7!x^p ein Ringhomomorphismus ist.

Zusatz: Falls R ein Integrit¨atsbereich ist, ist f sogar ein Ringmonomorphismus.

Voraussetzung bei Beispiel 54:

R sei ein kommutativer Ring !