¨Ubungsblatt Aufgabe 16: Beweisen Sie Satz 1.23 der Vorlesung

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

23. NOVEMBER2017

16 17 18 19 Σ

NAME: MAT-NR.:

NAME: MAT-NR.:

Numerische Verfahren f¨ur hyperbolische Erhaltungsgleichungen – 6. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 16: Beweisen Sie Satz 1.23 der Vorlesung.

Satz 1.23: Sei q eine schwache L¨osung von (1) und S eine glatte Kurve in R×R⁺, entlang derer q unstetig ist.

Seien f, η, F ∈ C²(R), f⁰⁰ > 0, η⁰⁰ > 0 und F erf¨ulle F⁰ =η⁰f⁰. Sei weiter q eine Entropiel¨osung im Sinne von Definition 1.22.

Dann erf¨ulltq an allen Unstetigkeitsstellen die Lax-Entropiebedingung.

Siehe Kr¨oner, Numerical Schemes for Conservation Laws.

Aufgabe 17: Schreiben Sie ein Programm zur Approximation der Burgersgleichung mit periodi- schen Anfangsdaten mittels

• Lax-Friedrichs Verfahren Qⁿ⁺¹_i = 1

2 Qⁿ_i−1+Qⁿ_i+1

− ∆t

2∆x f(Qⁿ_i+1)−f(Qⁿ_i−1)

• Richtmyer 2-Schritt Lax-Wendroff Verfahren.

Qⁿ⁺¹_i =Qⁿ_i − ∆t

∆x

Fⁿ⁺

1 2

i+¹₂ −Fⁿ⁺

1 2

i−¹₂

mit

Qⁿ⁺

1 2

i−¹

2

= 1

2 Qⁿ_i−1+Qⁿ_i

− ∆t

2∆x f(Qⁿ_i)−f(Qⁿ_i−1) Fⁿ⁺

1 2

i−¹₂ =f(Qⁿ⁺

1 2

i−¹₂ )

Testen Sie Ihr Programm f¨ur verschiedene Anfangsdaten.

b.w.

Aufgabe 18: Seien u,v klassische L¨osungen von

∂_tu+∂_xf(u) =ε∂_xxu u(x,0) =u₀(x) bzw.

∂tv+∂xf(v) =ε∂xxv v(x,0) =v₀(x).

Zeigen Sie, dass

ku(·, t)−v(·, t)k_L1 ≤ ku₀−v₀k_L1

gilt.

Aufgabe 19: Betrachten Sie die Buckley-Leverett Gleichung, d.h. die Erhaltungsgleichung

∂_tq+∂_xf(q) = 0 mit der Flussfunktion

q²

q²+a(1−q)², 0< a <1.

Bestimmen Sie die L¨osungsstruktur des Riemann Problems q(x,0) =

1 : x <0 0 : x >0.

Lesen Sie Abschnitt 16.1 aus dem Buch von LeVeque zur Bedeutung der Buckley-Leverett Gleichung.

Abgabe am 30. November 2017 am Beginn der Vorlesung.

Abgabe der Programmieraufgaben bis zum 30. November 2017 um 14:00 an david.kerkmann@hhu.de.

Besprechung in der ¨Ubung am 8. Dezember 2017.