Ubungsblatt 8. ¨ Abgabe am 11.06. vor der Vorlesung.

Algorithmische Mathematik II

Sommersemester 2018 Prof. Dr. Ira Neitzel AR. Dr. Tino Ullrich

Ubungsblatt 8. ¨ Abgabe am 11.06. vor der Vorlesung.

Aufgabe 1. (Der Approximationssatz von Weierstraß)

Beweisen Sie den Approximationssatz von Weierstraß. Dieser besagt, dass f¨ ur jede stetige Funktion f : [0, 1] → R die Folge der Funktionen B n f (x) gegeben durch

B _n f (x) =

n

X

k=0

f k n

n k

x ^k (1 − x) ^n−k

gleichm¨ aßig gegen f konvergiert. Die Funktion B n f bezeichnet man als n-tes Bernstein- polynom der Funktion f . Mit anderen Worten, es gilt

n→∞ lim kf − B _n f k _∞ = 0

f¨ ur alle stetigen Funktionen f. Hierbei bezeichnet k · k ∞ die Maximumnorm auf [0, 1].

Gehen Sie wie folgt vor:

a. Berechnen Sie: B n (p 0 ), B n (p 1 ) und B n (p 2 ) f¨ ur n ≥ 1, wobei p 0 ≡ 1, p 1 (x) = x und p 2 (x) = x ² gesetzt wird. Ist B n eine Projektion auf Π n , d.h. gilt B _n ² = B n ? Interpoliert B _n die Funktion f in den Punkten k/n?

b. ¨ Uberzeugen Sie sich, dass gilt f(x) − B _n f (x) =

n

X

k=0

h

f (x) − f k n

i n k

x ^k (1 − x) ^n−k .

c. Zerlegen Sie den Summationsbereich in

I ₁ (x) := {k ∈ {0, ..., n} : |k/n−x| < δ} und I ₂ (x) := {k ∈ {0, ..., n} : |k/n−x| ≥ δ}.

Nutzen Sie nun die Stetigkeit von f (gleichm¨ aßige Stetigkeit), um die Summe ¨ uber I ₁ (x) abzusch¨ atzen. W¨ ahlen Sie δ > 0.

d. Nutzen Sie f¨ ur die Absch¨ atzung der Summe ¨ uber I ₂ (x) die Formeln aus Teilaufgabe a).

(1 + 1 + 2 + 2 = 6 Punkte) Aufgabe 2. (Lebesgue-Konstante)

Sei I = [a, b] ein Intervall. Die Lebesgue-Konstante f¨ ur die Polynominterpolation (I n+1 f )(x) =

n

P

i=0

f (x i )L i (x) f¨ ur n + 1 St¨ utzstellen a = x 0 < x 1 < ... < x n = b ist gegeben durch

Λ n+1 := max

a≤x≤b n

X

i=0

|L _i (x)| , wobei L _i (x) = w(x)/[(x − x _i )w ⁰ (x _i )], i = 0, ..., n .

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a. Zeigen Sie die folgende Identit¨ at f¨ ur die Norm des Operators I _n kI _n k := sup

f stetig

kfk

=1

kI _n fk _∞ = Λ n .

b. Zeigen Sie, dass f¨ ur eine beliebige stetige Funktion f stets gilt kf − I n+1 (f)k _∞ ≤ (Λ n+1 + 1) inf

p∈Π

kf − pk _∞ ,

wobei k · k _∞ die Maximumnorm auf [a, b] darstellt. Interpretieren Sie diese Unglei- chung!

c. Zeigen Sie, dass es f¨ ur ¨ aquidistante St¨ utzstellen x _i = i(b − a)/n, i = 0, ..., n, eine universelle Konstante c > 0 gibt, so dass

Λ _n > c(1.9) ⁿ gilt. Was hat das hinsichtlich lim

n→∞ kf − I _n f k _∞ f¨ ur ein festes stetiges f zur Folge?

Vergleichen Sie mit Aufgabe 1.

(1 + 2 + 4 = 7 Punkte) Aufgabe 3. (Polynominterpolation)

Berechnen Sie das Polynom f¨ unften Grades, welches die Funktion sin( ^πx ₂ ) sowie ihre erste Ableitung an den Stellen x 0 = 3, x 1 = 4 und x 2 = 5 interpoliert.

(4 Punkte) Aufgabe 4. (Trigonometrische Interpolation)

Zu den St¨ utzpunkten

i 0 1 2 3 4

x i 0 π/2 π 3π/2 2π

y _i 1 3 5 1 1

a. berechne man das interpolierende trigonometrische Polynom p(x) = c 0 + c 1 e ^ix + c 2 e ^2ix + c 3 e ^3ix .

b. Man gebe außerdem eine reelle Darstellung des trigonometrischen Polynoms in sin(x) und cos(x) an.

(2 + 1 = 3 Punkte) Programmieraufgabe 1. (Runge-Ph¨ anomen)

Bearbeiten Sie die vierte Programmieraufgabe, die als Jupyter Notebook auf der Websei- te zur Verf¨ ugung steht. Darin geht es um die Veranschaulichung des Runge-Ph¨ anomens.

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 Punkte) Die Programmieraufgabe wird in der Woche vom 11.06. bepunktet.

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