Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 1 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 1:
Sei d die New-York-Metrik auf X =R2, definiert durch d(x, y) =|x1−y1|+|x2 −y2| f¨ur x= (x1, x2), y= (y1, y2)∈X. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildungd ist tats¨achlich eine Metrik.
(b) Es gilt |x−y| ≤d(x, y) f¨ur alle x, y∈R2.
(c) Berechne in (X, d) den Umfang des EinheitskreisesB1(0).
(d) In der euklidischen Metrik aufR2 gilt, dass das Verh¨altnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser gleich π ist. Gilt eine solche Beziehung auch in der New-York-Metrik?
Aufgabe 2:
Zeigen Sie, dass jede Folge in metrischen R¨aumen h¨ochstens einen Grenzwert besitzt.
Aufgabe 3:
Sei X = {(xn) : xn ∈ R f¨ur n ∈ N} der Raum aller reellen Zahlenfolgen und definiere die Abbildung
d(x, y) = X∞
n=1
2−n |xn−yn|
1 +|xn−yn|, x= (xn), y = (yn)∈X.
Zeigen Sie, dass die Abbildung d wohldefiniert und dass (X, d) ein metrischer Raum ist.
Aufgabe 4:
Sei X eine beliebige Menge und d die diskrete Matrik auf X. Sei ferner A ∈ X eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass A offen und abgeschlossen ist.
Besprechung der Aufgaben am 23.10.2014.