Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 2 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 5:
Seien (X, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum und f : X → X eine Abbildung mit der Eigenschaft: Es existieren k ∈ (0,1) und n ∈ N, so dass f¨ur alle x, y ∈ X gilt d(fn(x), fn(y))≤kd(x, y), wobeifn =f◦ · · · ◦f die n-mal iterierte Abbildung bezeichnet.
Zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt in X besitzt.
Aufgabe 6:
Welcher der folgenden R¨aume ist ein normierter Raum? (Mit Beweis oder Gegenbeispiel.) (i) ℓ1 mit kxk0 =|x1|+|x2| f¨ur x= (xn)∈ℓ1.
(ii) ℓ1 mit kxk1 =P∞
n=1|xn|f¨ur x= (xn)∈ℓ1. (iii) ℓ∞ mit kxk∞ = supn≥1|xn| f¨urx= (xn)∈ℓ∞.
Aufgabe 7:
Seien α >0 und fα ∈[0,1 +√
α]→R, f(x) =√ α+x.
(i) F¨ur welche α >0 ist fα eine Selbstabbildung?
(ii) F¨ur welche α >0 hat fα einen Fixpunkt in [0,1 +√α]?
Aufgabe 8:
Sei H ein Hilbertraum ¨uber C mit Skalarprodukt (·,·) und induzierter Norm k · k. Zeigen Sie f¨ur alle x, y∈H:
(i) Satz von Pythagoras: Wenn (x, y) = 0, dann kx + yk2 = kxk2 +kyk2. Gilt die Umkehrung?
(ii) Polarisationsformel: (x, y) = 14 kx+yk2− kx−yk2−ikx+iyk2+ikx−iyk2 . (iii) Parallelogrammgleichung: kx+yk2+kx−yk2 = 2(kxk2+kyk2).
Besprechung der Aufgaben am 30.10.2014.
