Ubungsblatt 1 zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Wien Sommer 2010 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing

Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel

Ubungsblatt 1 zur Vorlesung ¨

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Seien X ein Banachraum und (uk)⊂X eine Folge mitu_k ⇀ uf¨ur k → ∞. Zeigen Sie:

(i) Gilt kukk → kuk und istX ein Hilbertraum, so folgt u_k →uf¨ur k → ∞.

(ii) Ist (Fk)∈X^′ mit F_k →F inX^′, so folgt hFk, u_ki → hF, ui.

Aufgabe 2: (3 Punkte)

SeienH ein Hilbertraum und (uk)⊂H mit u_k ⇀ u(k→ ∞). Zeigen Sie: Es existiert eine Teilfolge (uk_j), so daß der arithmetische Mittelwert

1 m

Xm

j=1

u_kj

f¨ur m→ ∞ stark gegen u konvergiert.

Aufgabe 3: (3 Punkte)

Seien X, Y und Z Banachr¨aume mit stetigen Einbettungen X ֒→ Y ֒→ Z. Es existieren C >0 und 0< θ <1, so daß f¨ur alle u∈X gilt:

kukY ≤Ckuk¹⁻_X ^θkuk^θ_Z.

Sei ferner (uk)⊂X beschr¨ankt und u_k→u in Z f¨urk → ∞. Zeigen Sie: (i) u_k→u in Y; (ii) wenn X ֒→Z kompakt ist, dann ist auchX ֒→Y kompakt.

Korrektur in den ¨Ubungen am 09.03.2010.