Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 8 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 25:
L¨osen Sie die Reaktionsgleichung f¨ur die Masse des Reaktionsprodukts x′ =r(a−x)(b−x), t≥0, x(0) =x0,
mittels Trennung der Variablen. Bestimmen Sie limt→∞x(t), falls dieser Grenzwert exi- stiert.
Aufgabe 26:Beweisen Sie Satz 4.18 aus der Vorlesung mit Hilfe des Lemmas von Gronwall.
Aufgabe 27:
Betrachte das lineare System
x′ =Ax+b, t >0, wobei A=
1 −1 1 1
, b= 1
0
.
(i) Bestimmen Sie eine reelle Fundamentalmatrix des homogenen Systems.
(ii) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung des inhomogenen Systems. (Hinweis: Ist xh(t) die allgemeine L¨osung des homogenen Systems, probieren Sie den Ansatz x(t) = xh(t) + (a, b)⊤ mit a, b∈R.)
Aufgabe 28:
Bestimmen Sie jeweils die allgemeine reelle L¨osung von x′ =Ax, wobei
(i) A=
3 1 0 0 1 0 0 0 1
, (ii) A=
3 0 0 0 1 1 0 0 1
.
Besprechung der Aufgaben am 18.12.2014.
