Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 5 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 17:
Seien H ein Hilbertraum undA, B :H →H zwei lineare, stetige, symmetrische Operato- ren. Zeigen Sie: Das produkt AB ist symmetrisch genau dann, wenn AB =BA.
Aufgabe 18:
Betrachten Sie die AbbildungA :R2 →R2, Ax= (x2,−x1)⊤ f¨ur x= (x1, x2)⊤ ∈R2. (i) Zeigen Sie, dass (Ax, x) = 0 f¨ur alle x∈R2 (mit dem euklidischen Skalarprodukt).
(ii) Bestimmen Sie den adjungierten Operator A∗.
(iii) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
Aufgabe 19:
Sei (yn)⊂R eine beschr¨ankte Folge undA:ℓ1 →ℓ1, A(xn) = (ynxn).
(i) Zeigen Sie, dass A stetig ist und kAk= supn∈N|yn| gilt.
(ii) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A.
Aufgabe 20:
Sei P : H → H eine Projektion auf dem Hilbertraum H mit P 6= 0, P 6= I. Zeigen Sie, dass σp(A) = {0,1}.
Besprechung der Aufgaben am 20.11.2014.
