Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 9 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 29:
Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte der Differentialgleichung x′ = Ax, t ∈ R, und untersuchen Sie sie auf Stabilit¨at, wobei
(i) A=
1 −2
3 −4
, (ii) A=
−1 −1
−2 −2
.
Aufgabe 30: Das System von Differentialgleichungen
x′ =x(3−x−2y), y′ =y(2−x−y), t ∈R,
beschreibt die zeitliche Entwicklung zweier Populationen (Hasen x(t) und Schafe y(t)), die im Wettbewerb um dieselben Resourcen (Gras) stehen. Im Modell wird angenommen, dass sich die Hasen schneller vermehren (Term 3x) als die Schafe (Term 2y) und dass sich die Schafe im direkten Wettbewerb um das Futter besser durchsetzen (Term −xy in der y-Gleichung im Vergleich zu −2xy in der x-Gleichung).
(i) Bestimmen Sie alle Gleichgewichte.
(ii) Welche der Gleichgewichte sind asymptotisch stabil?
(iii) Freiwillige Zusatzaufgabe: L¨osen Sie die Differentialgleichungen numerisch und stellen Sie die L¨osung graphisch als Phasenportrait dar.
Aufgabe 31:
Betrachten Sie die nicht-autonome Differentialgleichung x′ =A(t)x,t ≥0, mit A=
−1 + 32cos2t 1− 32sintcost
−1−32sintcost −1 + 32sin2t
.
(i) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte von A einen negativen Realteil besitzen.
(ii) Zeigen Sie, dass x(t) = et/2(−cost,sint)⊤, t ∈ R, eine L¨osung der Differentialglei- chung ist. Folgern Sie, dass das Gleichgewicht ¯x= (0,0)⊤ instabil ist.
(Diese Aufgabe zeigt, dass die Theorie autonomer Differentialgleichungen nicht direkt auf nicht-autonome Gleichungen anwendbar ist.)
Aufgabe 32:
Betrachten Sie das System von Differentialgleichungen
x′1 =−x31+x2, x′2 =−x1−x52, t ≥0.
(i) Bestimmen Sie alle Gleichgewichte.
(ii) Bestimmen Sie alle a > 0, b > 0, f¨ur die die Funktion V(x1, x2) = ax21 +bx22 eine Lyapunov-Funktion ist.
(iii) Folgern Sie die asymptotische Stabilit¨at der Gleichgewichte.
Besprechung der Aufgaben am 15.01.2014.
