Ubungsblatt 3 zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing

Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel

Ubungsblatt 3 zur Vorlesung ¨

H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende

Aufgabe 9:

Sei d(x, y) := |x−y|/(1 +|x−y|) f¨ur x, y ∈ R. Zeigen Sie: (R, d) ist ein vollst¨andiger metrischer Raum.

Aufgabe 10:

Bestimmen Sie f¨ur den Vektorx= (1,1,−1)^⊤ ∈R³die Bestapproximationy∈U bez¨uglich der euklidischen Norm, wobei

(i) U = span{(1,1,1)};

(ii) U = span{(1,1,1),(0,1,2)}.

Aufgabe 11:

Seien H ein Hilbertraum und (eⁿ)⊂ H ein Orthonormalsystem. Definiere die Abbildung Pⁿ :H →H, Pⁿu=Pⁿ

k=1(e^k, u)e^k. Zeigen Sie:

(i) Pⁿ ist eine Projektion.

(ii) Alle Elemente in R(Pⁿ) und N(Pⁿ) sind orthogonal zueinander.

(iii) Pⁿu ist die Bestapproximation von u inVⁿ= span{e¹, . . . , eⁿ}.

Aufgabe 12:

Sei w:R→R, w(x) =e^−x2, und definiere L²w(R) :=

f :R→R messbar:

Z

R

f(x)²w(x)dx <∞

. (i) Zeigen Sie: Durch (f, g) = R

Rf(x)g(x)w(x)dx wird ein Skalarprodukt auf L²w(R) definiert.

(ii) Wenden Sie das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf die ersten drei Elemente des Systems (uⁿ) mit uⁿ(x) =xⁿ, n≥0, an.

Besprechung der Aufgaben am 06.11.2014.