Technische Universit¨at Wien Winter 2014 Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing
Univ.-Prof. Dr. Ansgar J¨ungel
Ubungsblatt 7 zur Vorlesung ¨
H¨ ohere Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende
Aufgabe 21:
Sei Γ(y) = R∞
0 xy−1e−xdx f¨ury >0 die Gamma-Funktion, Zeigen Sie:
(i) F¨ur alle y >0 gilt Γ(y+ 1) =yΓ(y).
(ii) F¨ur alle n∈N0 gilt Γ(n+ 1) =n!.
(iii) F¨ur alle y >0 and n ∈Ngilt Γ(y)
ny = Z ∞
0
xy−1e−nxdx.
Aufgabe 22:
(i) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von sinh(t). F¨ur welche Argumente ist diese Laplace-Transformierte definiert?
(ii) L¨osen Sie das Anfangswertproblem
y′′+y=t, t >0, y(0) = 1, y′(0) = 0, mit Hilfe der Laplace-Transformation.
Aufgabe 23:
L¨osen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
(i) x′ =x2/t, t ∈R\{0}, x(1) = 2.
(ii) x′ = cos(t) cos2(x), t∈R, x(0) = 0.
Bestimmen Sie außerdem die maximalen L¨osungsintervalle.
Aufgabe 24:
Bestimmen Sie mit der Methode der Variation der Konstanten die allgemeine L¨osung von x′ = 2tx+et2sin(t), t ∈R.
Wie lautet die L¨osung f¨ur die obige Gleichung mit dem Anfangswert x(0) = 1?
Besprechung der Aufgaben am 11.12.2014.
