Aufgabe VIII.2 Beweisen Sie folgenden Satz ¨uber die Zerlegung der Eins: Satz

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt VIII vom 01. Dezember 2011

(Abgabe bis Freitag, 09. Dezember, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe VIII.1

Seien d≥2 undg:B_1/2(0)→Rdefiniert durch

g(x) =

(log|log|x||, x6= 0,

17, x= 0.

Zeigen Sieg∈W^1,d B_1/2(0) .

Aufgabe VIII.2

Beweisen Sie folgenden Satz ¨uber die Zerlegung der Eins:

Satz. Sei U₁, . . . , U_k eine offene ¨Uberdeckung der kompakten Menge K ⊂ R^d. Dann existieren f¨ur i= 1, . . . , k Funktionenθi ∈C_c^∞(Ui) mit der Eigenschaft

∀i∈1, . . . , k: 0≤θ_i ≤1 und

k

X

i=1

θ_i = 1 in K.

Aufgabe VIII.3

Seien I ⊂ R ein (nicht notwendig beschr¨anktes) Intervall sowie f ∈ L¹_loc(I). Beweisen Sie:

a) Falls

Z

I

f(t)ϕ⁰(t)dx= 0 f¨ur jedes ϕ∈C_c¹(I),

dann ist f fast ¨uberall auf I konstant.

b) Definiere f¨urx₀ ∈I eine Funktion v:I →Rdurch

v(x) =

x

Z

x0

f(t)dt.

Dann giltv∈C(I) und f ist schwache Ableitung von v.

Aufgabe VIII.4

Beweisen Sie mit Hilfe der vorhergehenden Aufgabe den folgenden Satz:

Satz. Seien I ⊂ R ein (nicht notwendig beschr¨anktes) Intervall sowie u ∈ W^1,p(I), 1≤p≤ ∞. Dann gibt es eine Funktion eu∈C(I) derart, dass

u=ue fast ¨uberall auf I

und

u(x)e −eu(y) =

x

Z

y

u⁰(t)dt f¨ur allex, y∈I.

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