¨Ubungsblatt Aufgabe 4.1 Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk

Mario Kaip 13. November 2009

AAAA

AA Q

Q QQ

Analysis I 4. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 4.1 Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln. Dabei seienA, B ⊂Rnichtleer.

(i) Sei A+B := {c ∈R | ∃a ∈A ∃b∈ B : c= a+b}, so gilt: Existieren supA und supB, dann auch sup (A+B), und es gilt sup (A+B) = supA+ supB.

(ii) Sei−A:={c∈R| ∃a∈A:c=−a}, und supAexistiere. Dann existiert inf (−A), und es gilt inf (−A) =−supA.

Aufgabe 4.2 Sei (zn)n∈N⊂Cein Folge komplexer Zahlen. Zeigen Sie nun:

(i) (z_n)_n ist genau dann eine Cauchy-Folge in C wenn (Re(z_n))_n ⊂ R und (Im(z_n))_n ⊂ R Cauchy-Folgen in Rsind.

(ii) Es gilt limn→∞z_n=z∈CinCgenau dann, wenn limn→∞Re(z_n) = Re(z) und limn→∞Im(zn) = Im(z) in Rgilt.

(iii) (Vollst¨andigkeit von C): Zeigen Sie, dass jede Cauchy-Folge inC bereits konvergiert.

Aufgabe 4.3 (

”Sandwich-Lemma“) Gegeben seien Folgen (an)n∈N,(bn)n∈N,(cn)n∈N⊂Rsowie n0∈N. F¨ur allen≥n0geltean≤bn≤cn. Die Folgen (an)n∈Nund (cn)n∈Nseien konvergent mit dem Grenzwert g := limn→∞a_n = limn→∞c_n. Zeigen Sie, dass dann auch (b_n)n∈N konvergiert mit dem Grenzwertg.

Aufgabe 4.4 Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz f¨ur n → ∞ und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

(i) a_n:=√

n+ 1−√

n,n∈N (iii) c_n:= _n2+2n+2ⁿ² ,n∈N

(ii)bn:= ²₍₋₂₎ⁿ⁺⁽⁻³⁾n+3ⁿⁿ,n∈N (iv)dn:= _n¹iⁿ+ 1,n∈N

Abgabetermin: Freitag 20. November 2009, vor 10:00 Uhr in die Briefk¨asten bei F411.