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Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik DK Huynh Repetitorium Analysis Blatt 4 Aufgabe 14 ¨Uberpr¨ufen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und beweisen Sie Ihre Antwort: (a)

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Academic year: 2021

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Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik DK Huynh

Repetitorium Analysis Blatt 4 Aufgabe 14

Uberpr¨ ¨ ufen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und beweisen Sie Ihre Antwort:

(a)

∑ ∞

𝑛=1

𝑛

2𝑛 − 1 (b)

∑ ∞

𝑛=1

3 𝑛 𝑛5 𝑛 (c)

∑ ∞

𝑛=1

( − 1) 𝑛 𝑛

𝑛 + 1 (d)

∑ ∞

𝑛=1

( √

𝑛

𝑛 − 1) 𝑛

(e)

∑ ∞

𝑛=1

2 + ( − 1) 𝑛

2 𝑛−1 (f)

∑ ∞

𝑛=1

1

𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 mit 0 < 𝑏 < 1 < 𝑎 (g)

∑ ∞

𝑛=1

√ 1

𝑛 + 2013 √ 𝑛 + 611

Aufgabe 15

Berechnen Sie den Wert der Reihe

∑ ∞

𝑛=1

1

(3𝑛 − 1)(3𝑛 + 2) .

Aufgabe 16

Die Folge (𝑎 𝑛 ) 𝑛∈ℕ sei rekursiv definiert durch

𝑎 1 = 2013, 𝑎 𝑛+1 = max { 0, 𝑎 𝑛 − 𝜋 } , 𝑛 ∈ ℕ . Bestimmen Sie (mit Beweis) den Grenzwert lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 . Aufgabe 17

Pr¨ ufen Sie, ob die Folge (𝑏 𝑛 ) 𝑛∈ℕ definiert durch 𝑏 𝑛 = 1 + 5 𝑛

1 + 5 𝑛 + ( − 5) 𝑛 (a) einen H¨aufungspunkt hat.

(b) beschr¨ankt ist.

(c) konvergent ist.

Begr¨ unden Sie Ihre Antworten.

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