Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2014 Dr. D.K. Huynh Blatt 4 Aufgabe 17 Welche der folgenden Teilmengen des ℚ

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2014 Dr. D.K. Huynh

Blatt 4 Aufgabe 17

Welche der folgenden Teilmengen des ℚ

sind Untervektorr¨aume:

(a) 𝑀

= {(𝑥, 𝑦, 𝑧)∣𝑥𝑦 − 𝑧 = 0}

(b) 𝑀

= {(𝑥, 𝑦, 𝑧)∣𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0}

(c) 𝑀

= {(𝑥, 𝑦, 𝑧)∣𝑥

+ 𝑦

= 0}

(d) 𝑀

= {(𝑥, 𝑦, 𝑧)∣𝑥 + 2𝑦 = 3𝑧}?

Begr¨unden Sie Ihre Antworten.

Aufgabe 18

Zeigen Sie, dass die Menge 𝑉 aller konvergenten Folgen (𝑥

)

in ℝ mit den Ope- rationen

(𝑥

) + (𝑦

) = (𝑥

+ 𝑦

) 𝜆(𝑥

) = (𝜆𝑥

), 𝜆 ∈ ℝ

einen reellen Vektorraum bildet. Was ist seine Dimension? Zeigen Sie, dass die Ab- bildung 𝜑 : 𝑉 → ℝ, die der Folge (𝑥

) ihren Grenzwert zuordnet, linear ist. Was ist ker 𝜑?

Aufgabe 19

Es sei 𝜑 : 𝑉 → 𝑊 eine lineare Abbildung zwischen 𝐾 -Vektorr¨aumen. Zeigen Sie (a) Im𝜑 ist ein Untervektorraum von 𝑊 .

(b) 𝜑 ist genau dann injektiv, wenn ker 𝜑 = {0}.

Aufgabe 20

Es seien 𝑣

= (1, −1, 1), 𝑣

= (0, 1, 1), 𝑣

= (2, 1, 0).

(a) Zeigen Sie, dass 𝑣

, 𝑣

, 𝑣

eine Basis des ℝ

bilden.

(b) Sei 𝑤 = (5, 1, −1). Bestimmen Sie die Koeffizienten von 𝑤 bez¨uglich dieser Basis.

(c) Sei 𝜑 : ℝ

→ ℝ

eine lineare Abbildung mit

𝜑(𝑣

) = (1, 1), 𝜑(𝑣

) = 0, 𝜑(𝑣

) = (−1, 2).

Bestimmen Sie 𝜑(𝑤).