Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2016 D. Huynh Blatt 5 Aufgabe 19 Es sei
ein K¨orper. Zeigen Sie: Die linearen Funktionale

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2016 D. Huynh

Blatt 5 Aufgabe 19

Es sei 𝐾 ein K¨orper. Zeigen Sie: Die linearen Funktionale 𝐾

→ 𝐾 sind genau die Abbildungen

𝑥 7→

∑

𝑗=1

𝑐

𝑥

,

mit 𝑐

∈ 𝐾 . L¨ osung.

Wir zeigen zun¨achst, dass jede Abbildung 𝑓 : 𝐾

→ 𝐾 von der Gestalt 𝑓(𝑥) =

∑

𝑗=1

𝑐

𝑥

, 𝑐

∈ 𝐾 (1)

ein lineares Funktional ist. Dazu zeigen wir, dass solche 𝑓 linear sind. Sei 𝛼 ∈ 𝐾.

Dann ist offenbar 𝑓(𝛼𝑥 + 𝑦) =

∑

𝑗=1

𝑐

(𝛼𝑥

+ 𝑦

) = 𝛼

∑

𝑗=1

𝑐

𝑥

+

∑

𝑗=1

𝑐

𝑦

= 𝛼𝑓 (𝑥) + 𝑓(𝑦).

Also ist 𝑓 linear.

Nun zeigen wir, dass jedes lineare Funktional, die obige Gestalt (1) hat. Es sei 𝑉 = 𝐾

. Offenbar ist (𝑏

, . . . , 𝑏

) mit 𝑏

(𝑥) := 𝑥

, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 eine Basis von 𝑉

: Es gilt dim 𝑉 = dim 𝑉

und (𝑏

, . . . , 𝑏

) sind linear unabh¨angig. Je 𝑛 linear unabh¨angige Vektoren bilden eine Basis. Somit l¨asst sich jedes lineare Funktional 𝑓 als Linearkombination von ( 𝑏

, . . . , 𝑏

) schreiben, also

𝑓 ( 𝑥 ) =

∑

𝑗=1

𝑐

𝑏

( 𝑥 ) =

∑

𝑗=1

𝑐

𝑥

,

dies war zu zeigen.

Aufgabe 20

Es sei 𝑉 ein 𝐾-Vektorraum und 𝑉

sein Dualraum. Ferner sei 𝑆 ⊆ 𝑉 . Zeigen Sie, dass der Annihilator 𝑆

von 𝑆 ein Unterraum von 𝑉

ist.

L¨ osung.

Wir m¨ussen lediglich zeigen, dass 𝑆

nicht-leer und abgeschlossen ist bez¨uglich Vek- toraddition und Skalarmultiplikation. Diese Aussagen sind aber trivial. Offenbar ist die Nullbildung in 𝑆

enthalten. Also ist 𝑆

nicht-leer. Nach Definition ist

𝑆

= {𝑓 ∈ 𝑉

∣𝑓 (𝛼) = 0∀𝛼 ∈ 𝑆}.

Es seien 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆

, dann gilt f¨ur ℎ := 𝑓 + 𝑔 das folgende: Sei 𝛼 ∈ 𝑆. Wir haben dann ℎ(𝛼) = (𝑓 + 𝑔 )(𝛼) = 𝑓(𝛼) + 𝑔(𝛼) = 0 + 0 = 0,

d.h. ℎ ∈ 𝑆

, also ist 𝑆

abgeschlossen gegen¨uber Addition.

Es seien nun 𝜆 ∈ 𝐾 und 𝛼 ∈ 𝑆. Dann gilt (𝜆𝑓 )(𝛼) = 𝜆𝑓 (𝛼) = 𝜆 ⋅ 0 = 0, also ist

auch (𝜆𝑓 ) ∈ 𝑆

, demnach ist 𝑆

abgeschlossen gegen¨uber Skalarmultiplikation.

Aufgabe 21

Es sei 𝑊 = span{(1, 1, 0), (1, 0, 1)} ein Unterraum von ℚ

. Bestimmen Sie eine Basis des Annihilators 𝑊

von 𝑊 .

L¨ osung.

Wir setzen 𝑉 = ℚ

. Nach Aufgabe 19 hat jedes Funktional 𝑓 ∈ 𝑉

die Gestalt 𝑓 (𝑥) =

∑

𝑗=1

𝑐

𝑥

mit 𝑐

∈ ℚ.

Nun gilt

𝑓 ∈ 𝑊

⇔ 𝑓 ((1, 1, 0)) = 𝑐

+ 𝑐

= 0 ∧ 𝑓 ((1, 0, 1)) = 𝑐

+ 𝑐

= 0.

Demnach ist beispielsweise 𝑐

frei w¨ahlbar und es gilt 𝑐

= 𝑐

= −𝑐

. Wir w¨ahlen 𝑐

= −1. Dann ist 𝑐

= 𝑐

= 1. Mithin ist 𝑓 (𝑥) = −𝑥

+ 𝑥

+ 𝑥

eine Basis von 𝑊

.

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