(ii) P2=P und hP x, yi=hx, P yi f¨ur alle x, y∈X

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk

Dipl.-Math. Mario Kaip 14. April 2009

AAAA

AA Q

Q QQ

Funktionalanalysis 4. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 4.1 Sei M ⊂ X ein abgeschlossener Untervektorraum des Hilbertraums (X,h·,·i).

Dann definiert man die orthogonale Projektion P durch

P :X→M, x=m+m⁰ 7→m,

wobei die Zerlegungx=m+m⁰ (m∈M, m⁰ ∈M^⊥) gem¨aß Satz 2.24 gegeben sei. Zeigen sie:

(i) P ∈L(X, M) und kPk_L(X,M)= 1 (wie ¨ublichkxk_M :=kxk_X, f.a. x∈M).

(ii) P²=P und hP x, yi=hx, P yi f¨ur alle x, y∈X.

(iii) Es gilt kerP =M^⊥ und ImP =M.

Aufgabe 4.2 SeiH ein Hilbertraum mit OrthonormalbasisS :={e_i :i∈I}f¨ur eine beliebige Indexmenge I. Zudem sei M :={y_i :i∈I}eine beliebige orthogonale und beschr¨ankte Familie von Vektoren aus H. Zeigen Sie:

(i) Die Reihe P

i∈Ihx, e_iiyi konvergiert unbedingt.

(ii) Es existiert genau einT ∈L(H) mit T e_i =y_i f¨ur alle i∈I.

Hinweis: Zu (i): Versuchen Sie den Beweis von2.33 Satz a)zu modifizieren.

Zu (ii): Vergessen Sie nicht die Wohldefiniertheit vonT zu begr¨unden.

Aufgabe 4.3 SeiF ∈(`<sup>1</sup>)<sup>0</sup> ein stetiges lineares Funktional auf`¹. Man zeige:

(i) Es existiert genau eine Folge (η_n)n∈N∈`^∞, so dass

F((ξ_n)n∈N) =

∞

X

n=1

ξ_nη_n

f¨ur alle (ξn)n∈N∈`<sup>1</sup> gilt. Insbesondere gilt dann auch k(η<sub>n</sub>)n∈Nk∞=kFk<sub>(`</sub>1)⁰. (ii) F¨ur alleζ := (ζ_n)n∈N∈`<sup>∞</sup> gilt schonF<sub>ζ</sub> ∈(`¹)⁰, wobeiF_ζ :`¹ →C,(ξ_n)n∈N7→P∞

n=1ξ_nζ_n.

Hinweis: Man zeige zun¨achst, dass (ξn)n∈N = limN→∞PN

k=1ξkekin`¹ gilt, wobeiek:= (δkn)n∈N.

Abgabetermin: Freitag 22. Mai 2009, vor 10:00 Uhr in die Briefk¨asten bei F411.