Asymptoten Eine Gerade g : y = p(x) = ax + b ist eine Asymptote von f , wenn f (x) − p(x) → 0 f¨ur x → ∞ oder x → −∞ . Besitzt eine Funktion eine Asymptote, so kann ihr Graph f¨ur große x durch die Gerade g approximiert werden.

Asymptoten

Eine Gerade g : y =p(x) =ax +b ist eine Asymptote vonf, wenn f(x)−p(x)→0 f¨ur x → ∞oder x→ −∞.

Besitzt eine Funktion eine Asymptote, so kann ihr Graph f¨ur großex durch die Gerade g approximiert werden.

Beispiel

Asymptoten der Funktion

f(x) = x+ 1 2 + e^x

-2 0 2 4 6

-1 -0.5 0 0.5 1

(i) x→ ∞:

Erweitern mit e^−x

x→∞lim f(x) = lim

x→∞

x+ 1

2 + e^x = lim

x→∞

(x+ 1)·e^−x 2·e^−x + 1 = 0

0 + 1 = 0 Asymptote

p(x) = 0 (x−Achse) (ii) x→ −∞:

e^x →0 Asymptote

p(x) = x+ 1 2

Asymptoten rationaler Funktionen

Eine rationale Funktion r(x) = p(x)

q(x) = p_mx^m+pm−1x^m−1+· · ·+p₀ qnxⁿ+qn−1xⁿ⁻¹+· · ·+q0

hat eine Asymptoteg : y =a(x) =a1x+a0, falls Grad p ≤Gradq+ 1.

Die Abbildung illustriert die verschiedenen m¨oglichen F¨alle.

Gradp <Grad q:

Die x-Achse ist Asymptote:

x→±∞lim r(x) = 0. Gradp = Grad q:

Die rationale Funktion r besitzt eine waagrechte Asymptote a1= 0,a0=pm/qn (m=n).

Gradp = Grad q+ 1:

Es existiert eine lineare Asymptote, die mit Hilfe von Polynomdivision bestimmt werden kann:

p(x)/q(x) = (a1x+a0) + Rest.

Man erh¨alt a₁ =p_m/q_n,a₀=pm−1/q_n − p_mqn−1/q_n² mit m=n+ 1.

Falls Grad p >Gradq+ 1, so besitztr keine Asymptote. Die rationale Funktion w¨achst in diesem Fall mindestens quadratisch f¨urx → ±∞.