1/3 f ( x )f¨urgroße x zubeschreiben. InbeidenF¨allenist a = ±∞ zul¨assig,umdasasymptotischeVerhaltenvon f ( x )= o ( g ( x )) . | f ( x ) | / | g ( x ) | gegen0f¨ur x → a ,soschreibtmanentsprechend a .Strebt wenneseineKonstante c gibt,sodass | f ( x ) |≤

Landau-Symbole Man schreibt

f(x) =O(g(x)) (x→a) ,

wenn es eine Konstante c gibt, so dass |f(x)| ≤c|g(x)|f¨ur x in einer Umgebung von a.

Strebt |f(x)|/|g(x)|gegen 0 f¨ur x→a, so schreibt man entsprechend f(x) =o(g(x)).

In beiden F¨allen ista=±∞ zul¨assig, um das asymptotische Verhalten von f(x) f¨ur großex zu beschreiben.

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Beispiel

Absch¨atzungen f¨ur (1 +x)^r (i)r =n∈N:

binomische Formel, (1 +x)ⁿ=Pn k=0

n k

1^n−kx^k =Pn k=0

n k

x^k =⇒ (1 +x)ⁿ= 1 +nx+O(x²) (x→0)

(ii)−r =n ∈N:

Erweiterung mit 1−nx 1

(1 +x)ⁿ = 1

1 +nx +O(x²) = 1−nx

1−(nx)²+ (1−nx)O(x²)

= 1−nx

1 +O(x²) = 1−nx +O(x²), denn 1/(1 +O(x²)) = 1 +O(x²)

(iii) r ∈R:

(1 +x)^s =O(x^s) (x → ∞), dennx ≤1 +x≤2x f¨ur x≥1

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Beispiel

Beschreibung von Grenzwerten mit Hilfe von Landau-Symbolen (i) Grenzwert einer Folge:

a= lim

n→∞an ⇐⇒ an=a+o(1) (n→ ∞) (ii) Stetigkeit bei x =a:

f(x)−f(a) =o(1) (x→a) (iii) Differenzierbarkeit bei x =a:

f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+r mit

r =o(h) (|h| →0) r =O(h²) bei glatten Funktionen f

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