Beweis: Wir haben ||x||=p hx, xi ⇔ ||x||2=hx, xi

Aufgabe 35

Zeigen Sie, dass f¨ur allex, y∈Rⁿ mit Standardskalarprodukth,igilt (a) hx+y, x−yi=||x||²− ||y||²

(b) ||x+y||²+||x−y||²= 2||x||²+ 2||y||².

L¨osung. Wir k¨onnen von einem allgemeinen Skalarprodukt aufRⁿ ausgehen. Zur Erinnerung: Ein Skalarprodukt auf einenR-Vektorraum ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform.

(a) Behauptung: Es gilthx+y, x−yi=||x||²− ||y||². Beweis: Wir haben

||x||=p

hx, xi ⇔ ||x||²=hx, xi.

F¨ur die rechte Seite der Behauptung gilt damit

||x||²−||y||²=hx, xi−hy, yilinear im 2. Argument

= hx, xi+hy,−yilinear in beiden Argumenten

= hx+y, x−yi.

(b) Behauptung: Es gilt||x+y||²+||x−y||²= 2||x||²+ 2||y||². Beweis: Wir betrachten die linke Seite der Behauptung: Es gilt

||x+y||²=hx+y, x+yilinear im 1. Argument

= hx, x+yi+hy, x+yi

linear im 2. Argument

= hx, xi+hx, yi+hy, xi+hy, yi

Symmetrie

= hx, xi+hx, yi+hx, yi+hy, yi

=hx, xi+ 2hx, yi+hy, yi, somit gilt

||x+y||²=hx, xi+ 2hx, yi+hy, yi. (1)

Analog ergibt sich

||x−y||²=hx, xi −2hx, yi+hy, yi. (2)

Addition von (1) und (2) liefert

||x+y||²+||x−y||²= 2hx, xi+ 2hy, yi= 2||x||²+ 2||y||².