versehen mit der Skalarprodukt (x, y) = P

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 07.05.2018 Blatt 4

Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Funktionalanalysis

1. (8P) Sei H = R

versehen mit der Skalarprodukt (x, y) = P

j=1

x

y

. Sei F = {x ∈ H | x

+ x

+ x

+ x

= 0, x

+ x

− x

− x

= 0} und sei P : H → H die orthogonale Projektion mit Bild P = F . Bestimmen Sie P (x) f¨ ur x = (1, −2, 0, 0).

Hinweis: Gram-Schmidt Orthogonalisierung ist eine M¨ oglichkeit.

2. (10P) F¨ ur n ∈ N sei T

∈ (`

)

gegeben durch T

((x

)

) = x

.

Stellen Sie fest, ob die Folge (T

)

in (`

)

konvergiert und bestimmen Sie gege- benenfalls den Grenzwert. Beweisen Sie Ihre Aussage.

3. F¨ ur n ∈ N

definieren wir f

(x) = x

− 1

. Dann ist das n-te Legendre-Polynom P

: [−1, 1] → R definiert als

P

=

r 2n + 1 2

1 2

n!

d

dx

f

.

(a) (1P) Zeigen Sie f¨ ur j = 0, . . . , n die Existenz eines Polynoms q

mit

f

(x) = x

− 1

q

(x).

(b) (2P) Zeigen Sie f

≡ (2n)!

Hinweis: Binomialsatz!

(c) (1P) Seien n, m ∈ N

mit n ≥ m. Zeigen Sie induktiv f¨ ur j = 0, . . . , m Z

−1

d

dx

x

− 1

d

dx

x

− 1

dx

= (−1)

Z

−1

d

dx

x

− 1

d

dx

x

− 1

dx.

(d) (8P) Zeigen Sie nun, dass die Legendre-Polynome eine Orthonormalbasis des L

[−1, 1] bilden.

Hinweis: F¨ ur die Rechnungen ist es n¨ utzlich, sich daran zu erinnern, dass wir in Satz 17.7 der Analysis I gezeigt hatten

Z

0

(sin x)

dx =

n

Y

j=1

2j 2j + 1 .

4. Es sei x =

1 j

j∈N

∈ `

und f¨ ur n ∈ N sei e

∈ `

gegeben durch e

= (δ

)

. Dann ist

H = LH {x} ∪ {e

|n ≥ 2}

,

versehen mit der Norm k·k

, ein Pr¨ ahilbertraum. Ferner sei F der durch F = LH {e

|n ≥ 2}

gegebene Unterraum von H. Zeigen Sie:

(a) (3P) F 6= H.

(b) (7P) F

= {0}.

Hinweis: Abschluss und Orthogonalraum sind in H gemeint.

Abgabe: Mo, 14.05.2018, 12:20 Besprechung: 22. Mai

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