F¨ ur jedes n ∈ N sei die Funktion f n : R → R definiert durch f n (x) =

Dr. Erwin Sch¨

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):

Differential– und Integralrechnung 2

2.1 (Herbst 2012, Thema 3, Aufgabe 1)

F¨ ur jedes n ∈ N sei die Funktion f _n : R → R definiert durch f _n (x) =

n

X

k=0

3x x ² + 2

k

.

Bestimmen Sie die Menge D aller x ∈ R , f¨ ur die die Folge (f _n (x)) n∈ N konvergiert, sowie die Grenzfunktion f : D → R .

2.2 (Fr¨ uhjahr 2004, Thema 2, Aufgabe 2) a) Bestimmen Sie f¨ ur die Reihe

∞

X

k=0

x + 3

(x − 3) ^k , x 6= 3,

alle x ∈ R , f¨ ur die die Reihe konvergiert, und berechnen Sie den Wert der Reihe.

b) Beweisen Sie oder widerlegen Sie die Konvergenz der Reihe

∞

X

k=1

1 k ² − 1

k

.

2.3 (Fr¨ uhjahr 2002, Thema 2, Aufgabe 1)

Untersuchen Sie die folgende Reihen auf Konvergenz:

a)

∞

X

n=0

n + 4

n ² − 3 n + 1 b)

∞

X

n=0

(−1) ⁿ (n + 1) ⁿ⁻¹ n ⁿ 2.4 (Fr¨ uhjahr 2001, Thema 1, Aufgabe 1)

Untersuchen Sie die Reihen X

k≥1

2 ^k

k ¹⁰ und X

k≥1

3 k ² + 1

k ⁴ + 1

auf Konvergenz.

2.5 (Herbst 2006, Thema 2, Aufgabe 1)

Man beweise oder widerlege die Konvergenz der beiden folgenden Reihen.

a)

∞

X

n=1

3 ⁿ

2 ⁿ

b)

∞

X

n=1

(−2) ⁿ

√ n ² + n

2.6 (Fr¨ uhjahr 2004, Thema 1, Aufgabe 1)

a) Man beweise oder widerlege f¨ ur jede der beiden Reihen die Konvergenz

∞

X

n=1

2 ⁿ 3 ⁿ + 4 ⁿ ,

∞

X

n=1

4 ⁿ 2 ⁿ + 3 ⁿ . b) Man zeige, dass die Reihe

∞

X

n=1

1 n (n + 2) konvergiert mit dem Grenzwert ³ ₄ .

2.7 (Herbst 2011, Thema 2, Aufgabe 1)

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz

∞

X

n=1

n ² 2 ⁿ ,

∞

X

n=1

n n + 1

n

,

∞

X

n=1 n

X

k=1

k n ⁴

! .

2.8 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 1, Teilaufgabe 1a)

Weisen Sie nach, ob die folgenden Reihen divergieren oder konvergieren.

∞

X

n=1

n ⁿ (1 + n) ⁿ ,

∞

X

n=1

n ⁽ⁿ

⁾ (1 + n) ⁽ⁿ

⁾ . 2.9 (Herbst 2011, Thema 3, Aufgabe 1)

F¨ ur n ∈ N sei a _n := ^ln _n ⁿ . Zeigen Sie:

a) F¨ ur alle n ≥ 3 gilt a _n > a _n+1 .

b) Mit n _k := 2 ^k ist (a _n

) k∈ N eine Nullfolge.

c) Die Reihe

∞

X

n=1

(−1) ⁿ a _n ist konvergent.

d) Konvergiert

∞

X

n=1

(−1) ⁿ a _n auch absolut? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

Bestimmen Sie (mit Begr¨ undung) alle reellen Zahlen x > 0, f¨ ur die die folgende Reihe konvergiert:

∞

X

n=1

(ln x) ⁿ n . 2.11 (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 2)

Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, f¨ ur die die Reihe

∞

X

n=1

ln(n)

√ n x ⁿ

konvergiert.

2.12 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 2, Aufgabe 1)

Bestimmen Sie f¨ ur jede der folgenden Reihen alle x ∈ R , f¨ ur die die Reihe kon- vergiert.

∞

X

k=0

e ^xk ,

∞

X

k=0

e ^k x ^k ,

∞

X

k=0

1 e ^x + k . 2.13 (Herbst 2010, Thema 1, Aufgabe 1)

Bestimmen Sie alle x ∈ R , f¨ ur die die Reihe

∞

X

n=1

(2x) ⁿ 1 + x ²ⁿ konvergiert.

2.14 (Herbst 2008, Thema 3, Aufgabe 1)

Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, f¨ ur welche folgende Reihen konvergieren:

a) X

n≥1

1

n x ² − 1 n

b) X

n≥1

nx ⁽ⁿ

⁾

2.15 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 1, Aufgabe 2)

Untersuchen Sie, f¨ ur welche x ∈ R die folgenden Reihen konvergent bzw. absolut konvergent sind:

a)

∞

X

n=1

x ⁿ n · q

n − ¹ ₂

b)

∞

X

n=1

n ⁽ⁿ

⁾ (n + 1) ⁽ⁿ

⁾ x ⁿ 2.16 (Herbst 2004, Thema 1, Aufgabe 1)

Bestimmen Sie alle x ∈ R , f¨ ur die die gegebenen Reihen konvergent sind:

a)

∞

X

n=0

3 ⁿ

n! x ⁿ b)

∞

X

n=0

3 ⁿ

n! x ⁿ

2.17 (Herbst 2010, Thema 2, Aufgabe 2) a) Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

n=2

(−1) ⁿ log(n ² − n) konvergiert. Konvergiert sie absolut?

b) Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

n=1

1 − n + n ² − n ³ + n ⁴ − n ⁵ n ⁷

konvergiert. Konvergiert sie absolut?

c) Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

k=1

(kx) ^k k!

f¨ ur alle |x| < ¹ _e konvergiert. Konvergiert sie absolut?

2.18 (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 2)

a) Man beweise oder widerlege die Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

n ³

1+n n

n

3

! n

.

b) Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

∞

X

n=1

n ⁿ n! x ⁿ . 2.19 (Herbst 2010, Thema 3, Aufgabe 1)

F¨ ur welche positiven Zahlen a, b > 0 mit b 6= 1 konvergiert die Reihe

∞

X

n=1

a ⁿ 1 − b ⁿ ? 2.20 (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 1)

a) Man beweise oder widerlege die Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

(−1) ⁿ n

2 + 1

n n

. b) Man bestimme alle reellen Zahlen x, f¨ ur die die Reihe

∞

X

n=1

1 + 2 ⁿ x ²ⁿ

1 + n ²

konvergent ist.

(Fr¨

a) Man zeige

1 − r

1 − 1 n ≥ 1

2n f¨ ur n ≥ 2 und bestimme damit, ob die Reihe

∞

X

n=2

1 − r

1 − 1 n

!

konvergiert.

b) Man bestimme, ob die Reihe

∞

X

n=2

1 − r

1 − 1 n ²

!

konvergiert.

2.22 (Fr¨ uhjahr 2008, Thema 3, Aufgabe 2) a) Man zeige: lim

n→∞ n ²

1 − cos 1 n

= 1 2 . b) Man untersuche die Reihe

∞

X

n=1

1 − cos 1 n

auf Konvergenz.

2.23 (Herbst 2008, Thema 2, Aufgabe 1) Gegeben sei eine reelle Zahl a > 0.

a) Zeigen Sie: lim

n→∞ n √

a − 1

= ln a.

b) Untersuchen Sie f¨ ur a ≥ 1 die unendliche Reihe

∞

X

n=1

√

a − 1 auf Konvergenz.

2.24 (Fr¨ uhjahr 2012, Thema 3, Aufgabe 2) Gegben sei die Funktion f : [2, ∞[ → R mit

f(x) = ln x x ² .

a) Man zeige, dass f auf ]2, ∞ [ monoton f¨ allt und nur positive Werte annimmt.

b) Man bestimme mit Hilfe partieller Integration eine Stammfunktion von f.

c) Man untersuche die Reihe

∞

X

n=2

ln n n ²

mittels des Integralvergleichskriteriums auf Konvergenz.

2.25 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 2, Aufgabe 3) a) Beweisen Sie f¨ ur k ∈ N , k ≥ 3

k

X

n=3

1 n(ln n) ² ≤

Z k

2

1 x(ln x) ² ≤

k−1

X

n=2

1 n(ln n) ² .

b) Beweisen Sie die Ungleichung

∞

X

n=3

1

n(ln n) ² ≤ 1 ln 2 . 2.26 (Herbst 2006, Thema 2, Aufgabe 1)

a) F¨ ur n ∈ N sei

a _n :=

Z

0

(tan x) ⁿ dx.

Zeigen Sie, dass f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n gilt:

(i) a n+1 ≤ a n ; (ii) a n+2 + a n = 1 n + 1 .

b) Konvergiert die Folge (a n ) n∈ N aus a)? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort und er- mitteln Sie gegebenenfalls den Grenzwert der Folge.

c) Bestimmen Sie (mit Begr¨ undung) alle x ∈

− ^π ₂ , ^π ₂

, f¨ ur die die folgende Reihe konvergiert:

∞

X

n=1

(tan x) ⁿ

n .

2.27 (Herbst 2005, Thema 1, Aufgabe 1)

a) Die Folge (x _n ) n≥n

sei rekursiv durch x ₀ = 1 und x _n+1 = x n

1 + x ³ _n f¨ ur n ≥ 0 definiert. Man beweise die Konvergenz der Folge und zeige:

n→∞ lim x _n = 0.

b) F¨ ur eine Folge (a _n ) n≥1 positiver Zahlen zeige man:

∞

X

n=1

a _n konvergent = ⇒

∞

X

n=1

1

1 + a _n divergent . c) Man beweise oder widerlege die Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

n ⁿ

(2n)! .

Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion mit f ⁰ (x) ≥ 0 f¨ ur jedes x ∈ R und f(0) = 0. Zeigen Sie, dass die Reihe

X

k≥1

(−1) ^k f 1

k

konvergiert.

2.29 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 3) Beweisen Sie:

a) F¨ ur jedes k ∈ N mit k > 0 ist ln

1 + 1 k

+ ln

1 − 1 k + 1

= 0.

b)

∞

X

k=2

ln

1 + (−1) ^k 1 k

= 0.

2.30 (Fr¨ uhjahr 2002, Thema 2, Aufgabe 2) Bekanntlich gilt:

π 4 =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ 2n − 1 . Bestimmen Sie ein N ∈ N , so dass

π 4 −

N

X

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ 2n − 1

≤ 1 2 · 10 ⁻⁴ gilt.

2.31 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 1, Aufgabe 1)

a) Es sei (a _n ) n∈ N eine Nullfolge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass sich eine Teil- folge (a _n

) _{k∈ N} finden l¨ asst, so dass die Reihe

∞

X

k=1

a _n

absolut konvergiert.

b) Es sei (b _n ) n∈ N eine Folge reeller Zahlen, so dass es ein d > 0 mit b _n+1 < b _n −d f¨ ur alle n ∈ N gibt. Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

n=1

e ^b

konvergiert.

2.32 (Fr¨ uhjahr 2010, Thema 2, Aufgabe 2)

Sei (a _k ) k∈ N eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen Sie: Wenn die Reihe

∞

X

k=1

a _k 1 + a _k konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe

∞

X

k=1

a _k .

2.33 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 2)

Man beweise jede der folgenden Aussagen, sofern sie allgemeing¨ ultig ist, oder widerlege sie durch ein Gegenbeispiel:

a) Ist die Reihe

∞

X

n=1

a n konvergent und die Folge (b n ) _n∈

N beschr¨ ankt, so ist auch die Reihe

∞

X

n=1

a _n b _n konvergent.

b) Ist die Reihe

∞

X

n=1

a _n absolut konvergent und die Folge (b _n ) _n∈

N beschr¨ ankt, so ist auch die Reihe

∞

X

n=1

a n b n absolut konvergent.

2.34 (Herbst 2013, Thema 2, Aufgabe 1)

a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

∞

X

n=1

1

n − 1 n + k

f¨ ur alle k ∈ N .

b) Seien a ₁ , a ₂ , . . . ∈ ]0, ∞[. Beweisen Sie mit dem Majorantenkriterium, dass aus der Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

a _n die Konvergenz der Reihe

∞

X

n=1

√ a _n a _n+1

folgt.

2.35 (Fr¨ uhjahr 2014, Thema 1, Aufgabe 2)

a) Sei f : R → R eine stetig differenzierbare Funktion mit f (0) = 0 und sei die Reihe

∞

X

k=0

a k

absolut konvergent. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe

∞

X

k=0

f(a _k ) absolut konvergiert.

b) Finden Sie ein Beispiel daf¨ ur, dass die Behauptung falsch wird, wenn man

nicht voraussetzt, dass f stetig differenzierbar ist, sondern nur, dass f stetig

ist.

a) Seien (a n ) n∈ N und (b n ) n∈ N reelle Folgen mit a n ≥ 0 und b n > 0 f¨ ur alle n ∈ N . Es gelte

n→∞ lim a _n b _n = 0.

Beweisen Sie die folgende Aussage: Wenn die Reihe

∞

X

n=1

b _n

konvergiert, so konvergiert auch die Reihe

∞

X

n=1

a n .

b) Zeigen Sie: Die Aussage a) gilt nicht mehr, wenn man von der Reihe (b n ) n∈ N

lediglich b _n 6= 0 f¨ ur alle n ∈ N fordert.