Aufgabe 10. Es sei n ∈ N . F¨ ur alle k ∈ N sei f

Universit¨ at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium 2018, Analysis 2

Blatt 3

Aufgabe 10. Es sei n ∈ N . F¨ ur alle k ∈ N sei f

: R

→ R eine meßbare Funktion.

Zeigen Sie, dass

M := {x ∈ R

: (f

(x))

ist monoton wachsend}

meßbar ist.

Aufgabe 11. Es sei U ⊂ R

mit

U := {(x, y) ∈ R

: x

− xy + y

≤ 2}.

Bestimmen Sie

Z

U

(x

− xy + y

)dxdy

mit Hilfe des Transformationssatzes, indem Sie folgende Transformationen nutzen

x = √ 2u −

q

3

v und y = √ 2u +

q

v.

Aufgabe 12. Es sei a ∈ R

mit kartesischen Koordinaten (x, y, z). Die folgende Zu- ordnungen ¨ uberf¨ uhren diese in die sogenannten Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) verm¨ oge

x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.

(i) Bestimmen Sie die dazugeh¨ orige Funktionaldeterminante zu den obigen Trans- formationen.

(ii) Bestimmen Sie mit (i) und dem Transformationssatz das Volumen der Kugel mit der Gleichung

x

+ y

+ z

≤ R

f¨ ur R ∈ R

.

Aufgabe 13. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds gegeben durch

0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ y + z ≤ 5, 0 ≤ x + y + z ≤ 10.